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1、何天成：从高联到IMO金牌，超详细数学竞赛学习方法（一） 本文作者何天成，第58届国际数学奥林匹克（IMO）金牌获得者，华南师大附中2017届毕业生，北京大学数学科学学院2017级新生。本文首发于数学新星网。作者非常详细地阐述了从高联一试/二试，到参加CMO，国家集训队，走向IMO，各级竞赛的心路历程和学习方法，对于参加竞赛的同学具有非常大的指导意义，因为篇幅较长，故分为三篇分享给大家。请看过的同学温故知新，没看过的同学一定要认真做好笔记，满满的干货正文如下：2017年7月，我有幸作为中国国家队的一员参加了第 58 届国际中学生数学奥林匹克竞赛（ IMO ) ，并获得了一枚金牌。回顾六年竞赛之
2、路，我从开始的一个懵懂无知的新人，一路上经历了不少挫折，走了不少弯路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一套学习竞赛的方法，最后的结局也是幸运的。而正是这份幸运，让我觉得有责任把自己学习数学竞赛的经验与心得分享出来，希望后来者能吸取我的经验和教训，找到自己的不足，并更好地看清未来。 引 言对于一场考试，我喜欢用以下 3 个参数来衡量最终的分数：最终分数=实力分 x 运气分 x 状态分。其中实力，运气，状态均为非负实数。这里，“实力”顾名思义，尽管不好量化，但是一般来说实力相差很大还是能看出来的。“运气”主要代表“题目是否对路”，比如一个擅长几何的选手参加一场几何送分的考试，当然运气分较低；而参加一
3、场几何难度他刚刚好能做出来的考试，运气分就比较高了。当然，运气分是取决于考试本身的，可以认为主观上不能改变它，但是在集训队这样的多次考试中，平均下来，运气会比较稳定；并且，我们可以用比如“补短板”或者“狂刷一科”等方法改变运气分的波动大小。另一方面的运气来自于改卷，即能不能得到预想中的分数，这一点理论上来说也是不能自己操纵的，但是可以通过加强书写等方法提升。“状态”源于自身，常见的影响状态的因素有，比如考前一晚睡不着，考试很冻手、冻僵了，旁边的同学一直发出噪音等等。当然，也可能会有状态莫名超好的情况，但是我们不能控制自己超常发挥，只能期望尽量发挥正常。总结下来，我们当然要“提升实力”，但同时也
4、要注意一些很容易被忽略的地方提升运气和状态。这看似很难处理，但实际上还是有迹可循的。运气方面，一是之前说的“补短板”与“狂刷一科” 。补短板是实力进阶的必经之路，我一直认为，一名真正优秀的选手并不一定要做出很多人都做不出的超难题，但是一定要做出有足够多人能做出的题，这就需要了解不同的方法，覆盖更多知识面，做真题。“狂刷一科”是实力不够的情况下的赌博，比如就想联赛做出俩题混一等奖，然后狂刷代数与几何之类的。我对这种方法不予评价，但反正我自己的经历是，凡是赌博的情况都必输，实力不到说啥都没用，不如按部就班的来，读者可以自己考虑实力不够的时候的做法。第二点大概就是关于过程的书写，事实上，很多人对自己
5、的过程非常有自信。如果你批改过其他人的过程，总会觉得“这啥意思啊？搞了半天都不知道想干啥”或者“这里一句话带过根本就不显然嘛”。一般来说，过程写不好有两种：如果你讲都讲不清楚，那么可能是语文学的不好，请回炉再造；如果跟别人讲思路的时候别人可以理解，但是过程写不好的话，可能是没有掌握好写过程的技巧。写过程的主要目的有两个：一是要准确，不能让老师误解你的意思；二是要通俗易懂，节省老师的时间，让老师能够比较容易get到你的过程的脉络。所以针对第一点，要学会过程的“数学化”表达：比如很多组合问题，直接表达就像写小说，如果可以换成集合或者图论的语言，又或者把它代数化表示，就简单很多了；另外，过程里的因果
6、关系要清晰，至少要表达出“由什么推出什么”，这就需要多使用连词：因为（由于、注意到）所以、若则所以从而、我们断言（证明）事实上，以及右箭头“=”。就算连词使用不多样，至少要达到的要求是：老师知道你的每一个结论是由哪些结论推出的。而第二点其实容易被忽视。我经常看到有些过程一路往下推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；语言又完全用的是集合的方法，全都是定义和运算，让人摸不着头脑。这时候，一旦出现一些笔误，很有可能老师就“如释重负”地圈起来给0分了。这就像写一篇议论文，要是你一直举例子不立论，当然不会给高分。这就需要把证明的脉络清晰地刻画出来，常见的连词有：证明分为如下几步、下面证明一个引理（结论
7、）、我们断言（证明）以下结论、我们只需证明如下结论即可证明此题等。这样的好处是，如果你断言的关键步骤恰好是答案中的步骤，或者老师知道是对的，那么老师就大致知道你做出来，只需验证一下细节即可；就算你的证明出现了一些漏洞，老师也能知道你做出了什么，会更容易得到步骤分。当然，还有一个大大增加可读性的方法：画图。特别是组合题，很多组合题用代数语言表达很繁琐，不易找到重点，也容易出现笔误，那如何让老师知道你想做什么呢？那就是画图。如果要把一个图按照某种策略三染色，就画一个示意图，然后用 ABC 标顶点，看上去就清楚多了嘛；就算几何题是用复数算的，画个图，让老师不用自己找图，也不是什么难事吧？最后我谈谈骗
8、分。时间快到了的时候还是做不出题目，想争取一些过程分的情况是常见的。但是我非常非常反对大家东扯西扯，然后说证毕做不出来就做不出嘛，要承认自己就是在混分，至于能给几分就看你做了什么结论了；但总有一些人不会做就瞎搞一通然后证毕。这样的人多了，就加大了老师判卷子的难度，就会连累一些“好人”。反正我觉得，要是明知道是错的还写证毕，绝对是败人品的行为。状态方面，我觉得有两点：一是平时加强模拟考试模拟考试绝对不仅仅指的是做一套题那么简单！我觉得模拟考试要起到效果，必须完完全全地模拟真实的情况。特别是 4、5 小时的考试，很多人只是开始两个小时上三板斧，然后消极怠工，这其实一点效果都没有。真实考试有 4、5
9、小时呢，要是平时这么模拟，真实考试的最后 2 个小时难道你就能继续保持极高的做题状态吗？二是平时做题最好“认真对待”，两天的考试可以带一些心理负担，这样真正考 CMO这样的考试万一面对第一天考试失利，就不会心理太崩盘。 各级竞赛 一全国高中数学联赛全国高中数学联赛是高中竞赛的第一步，但其实也是不确定性最大的一步。不同的省份有不同的联赛的备考攻略。如果你来自一些超级联赛强省，比如上海、浙江等，那么你的一试水平一定要过硬，因为正常的年份很可能会出现很多人二试并列拼一试的情况；但如果是中等的省份，就拿广东举例吧，在大部分年份二试 3 题 一试 90 分可以进省队，并且二试 2 题的话几乎进不了省队，
10、所以其实只需要做“适当”的一试练习，然后把重点放在二试上。注意，这里的“ x 题”指的是最终得分，不同的省改卷严格程度不一，但是一般来说，被判错是少数，并且很有可能是自己的问题（有些人经常写伪证自己看不出来，或者写过程水平太差确实没法看，却自我感觉良好），所以在备考的过程中要训练自己的书写，要尽量写的严谨、工整，避免被判错；但至于最终结果要是还是被判错了，也没办法啊，尽力而为，问心无愧。由于联赛的考场很多，并且各地规则不一，请尽量熟悉自己将去到的考场与考试细则，并在考前做好充足的准备，避免出现考试之外的问题。笔者在参加联赛的过程中曾经遇到过以下问题（都是血的教训啊） :考场偏僻，当天起的很早赶
11、赴考场，很疲倦；考场空调直吹，极冷；教室很大，老师发卷不及时，导致开考 5 分钟才拿到卷子；考试要求换草稿纸（收一张给一张）；洗手间较少，要等很久等等。总之，在考试之前，一定要做好充分的准备，联赛毕竟没几次，要按照高考的规格对待，提前踩点，准备充足的衣物、食物，避免因为考前准备不充足痛失好局。联赛与之后的比赛的最大的两点区别就是：时间短，对书写要求高。所以联赛的模拟更注重踏踏实实地掐表做，并认真写过程，最好让别人批改或者自己对着答案很仔细地检查笔误和写的不好的地方。部分因为时间原因没有做出的题目可以考试结束后再想，在考试的时候一定要保证“分数最大化”，该跳过的题就跳过，这样在真正的联赛中才不容
12、易手忙脚乱。联赛有一个不太好的地方：答题的区域非常小，尤其是二试第一题，要是想到了一个很复杂的方法，有可能要挖掉一大半第二题的空间才能写下。因此在模拟的过程中也要注意这一点千万千万不能写错！在考场上若是发现写了一大半的过程都是错的，修正思路很长，真是欲哭无泪不差这几分钟，要想好了再写，多花点时间写，表达尽量清楚，因为联赛时间紧。还有一个问题就是如何快速写出合要求的过程，这也是需要平时训练的。很可能最后留给一试最后一题的时间只有 5 分钟了，如果你快速读完题目后直接开始写，抓得分点，说不定最后能有 10 分。总之，模拟考试的最高境界就是“平时如考试，考试如平时”。平时训练的过程中一定要计时作答，
13、做不出来的题也要写上已得到的结论，完全模拟考试的状态。同时，在一试二试都模拟完成之后，可以再回头做做因为时间不够没有完成的题目，从各方面思考“如何做到更好”总结新出现的题型与错误的原因，总结考试的时可能出现的错误的时间分配。1一 试 先说一试。我的一试水平历来都不算好，但是也不算差，大概就是所谓的“90分”标准。我个人认为90分应该是适当训练可以达到的，而且在训练得当的情况下，基本可以保证拿到这个分数。当然，我的训练其实不多，（因为前而说的弱省原因），但是也不算少。首先，如果你刚学高中竞赛，对一试的知识点掌握的还不透彻，那么大概还是需要把套路过一遍的这个过程有点像准备高考，但是要求更高。如果有
14、教练当然极好，让教练帮着补补就好了；如果自学的话，大概需要做一些题。一试我能想到的问题大概是下面的这些东西：解析几何，其实来来回回方法就那么几种：设直线方程配合韦达定理，设点，设参数方程；还有稍高级的方法，比如几何法，曲线系，极坐标，极线方程，仿射变换，等等。当然，解析几何看着容易，做起来却没那么简单，需要很好的计算能力，也需要灵活变通，这就需要大量的练习了。做解析几何题的时候要注意：真正比赛的解析几何题目的答案一定不会太过于复杂。如果你在做题过程中发现比如求出的函数是无比困难的，很难求出最小值，那么可以考虑要么进行一些代换，因为这个表达式里面理论上来说肯定可以提取一些局部，切勿暴力求导；也可
15、以试图先猜出特殊点，看看能不能直接证明大小关系。如果求出的动点坐标所要满足的参数方程很复杂，无从下手。你可以尝试在原来的图形里猜出动点满足的条件大致是什么无非就是直线或者二次曲线之类的嘛，那么比如把 x , y 坐标平方乘系数加加减减说不定就全部消掉了。当然，做解析多了之后，要总结经验，在花了一定时间做不下去，一定要赶紧止损，换个方法，说不定不费很大力气就做出来了。最后，要记住，验证平行坐标轴的情况。数列技术含量稍高，不过绝大多数数列问题都是可以用局部不等式或者裂项做出来的。少数有高级技巧，比如积分估计，三角函数换元之类的。个人觉得数列其实难度很难估测，有的题目确实有难度。当然，就联赛的真题来
16、看，数列题目并没有很多模拟题那么难，需要注意的是一定不能着急的瞎放缩，要多变形 绝大部分的数列都是用代数变形后裂项做出的。大题里面可能还有一道求导的题目或者其他题目。这一类题目个人觉得没啥技巧，简而言之，练。代数的硬功夫是很重要的，这在之后做更难的代数题中会有用。立体几何对于自学的同学来说往往会比较头疼，因为答案的做辅助线方法有时候真的很匪夷所思。那就不这么麻烦吧！立体几何有一个万金油方法算！由于近年都出的是填空题，所以其实很多细节都可以不用处理（这是权宜之计，我推荐大家多学其他方法，保不准就出大题了但如果想短时间提高的话，只会这样算就好了）。自己查一下怎么算法向量，然后做几个题，了解怎么算二面角、异面直线距离，然后做几个题试试手感，之后就再也不会为立体几何担心啦！剩下的题目，算是其他题目吧，其实套路也有不少，需要大量练习，通过练习逐渐学会一些技巧。每个人都是从 30 分做到100分的嘛，开始
