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1、第一讲 有理数的概念和性质一、【概念和性质】1、正数和负数正数：比0大的数。如+3、+1.5、+、+584（正号可以省略）负数：比0小的数。如3、1.5、584（负号不可以省略） 零：既不是正数，也不是负数。零是正数和负数的分界。【实际意义】如“零上”和“零下” “高出”和“低于”“上升”和“下降” “超出”和“不足”“盈利”和“亏损” “收入”和“支出” 如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为3km，向南5km表示向北5km填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作 ；汽车原地不动记作 。（2）某人
2、转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈3表示 。2、整数和分数统称为有理数。分数 （分子是1时，这个分数就是正数）无限循环小数无限不循环小数（无理数）有限小数小数无限小数 有理数可以写成（m、n是整数，n0）。 有理数的两种分类：自然数正分数负分数整数有理数正整数0负整数分数 按定义分：负整数负分数有理数负有理数正有理数正整数正分数 按符号分（常用）：0（零既不是正数，也不是负数）几个重要概念（1）非负数：正数和零（2）非正数：负数和零（3）非负整数：正整数和零（4）非正整数：负整数和零3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。l 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所
3、有点都是有理数。小大-2 -1 0 1 2左边的数 右边的数 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。4、绝对值的意义与性质： 数轴上表示的点与原点的距离叫做的绝对值，记作。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 非负性 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 几何特征：关于原点对称（到原点的距离相等）6、乘积是1的两个数是互为倒数（0没有倒数） 乘积是1的两个数是互为负倒数 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数 除以一个不为
4、0的数，等于乘以这个数的倒数。【思考】已知a为有理数，判断下列语句是否正确： （a+）2是正数； （a）2是负数； a2+是正数； a2+的值不小于二、【基础练习】例1（1）一个月内小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值。（2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，英国增长1.3%，中国增长7.5%，写出这些国家的增长率。解：（1）小明体重增长2kg，小华体重增长kg，小强体重增长0kg（2）美国增长率，英国为1.3%，中国为7.5%。例2 画出数轴并表示下列有理数1.5，0解：例3 写出下列各数的相反数：6，100
5、，0解：6的相反数是，的相反数是8，的相反数是3.9，的相反数是，的相反数是，100的相反数是，0的相反数是0例4 写出下列各数的绝对值：6，0解：，例5 比较下列各对数的大小：（1）和 （2）和 （3）和解：（1）先化简：，正数大于负数即（2）， 即 （3）先化简： 填空 ： 若a0，b0，那么a+ b 0； 若a0，b0，那么a+ b 0； 三、【培优练习】1、若的值等于多少？解：ab 0, 则a、b同号，=1若都是正号，得 +=2 ， 得数为21=1若都是负号，得 +=2 ， 得数为21=32、如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方解：
6、D3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。解： 已知 +b=0 ，=1 ， x=2 原式= 4x+01=3x =32=5或14、已知，求的值是（ ）A.2 B.3 C.9 D.6解：根据非负性，有 a-3=0, b-2=0 得 a=3, b=2 = 32 = 95、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？解：由 abc 0 设c 0， 得a、b同号由a+b+c0 得 a 0 b 0X=1+1-1+1-1-1=0 所以 = 16、若为整数，且，试求的值。解： 即 a-b2007+ a-c2007=0 b、c 具有同等性 可设 a-b=1 且 c-a=0 b-c= b-
7、a=1 = 0+1+1=2【巩固练习】1、下面哪些数是正数？是负数？ 5，0，0.56，2、某地一天中午12时气温是7，过5小时气温下降了4，又过7小时气温又下降了4，第二天0时气温是多少？3、化简下列各数：，4、比较下列各数大小：（1）和 （2）和5、 写出下列各数的相反数 ，0，6、写出下列各数的绝对值：，07、 如果，那么一定是2吗？如果，则等于几？若则等于几？8、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+2005+20069、计算：12+23+34+n(n+1)10、计算：11、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。12、若三个有理数满足，求的值。【答案】1、 正数：5，0.56；负数：
8、，中午12时7过5小时（5点）下降了4 3过7小时（12点/0点）下降了4 12、3、 68，4、（1） （2）5、4，1.5，0，6、125，23，3.5，07、（1）可以是2或 （2） （3）8、 1+2-3-4+5+6-7-8+2005+2006 = （4）20044+2005+2006 = 2004+2005+2006 = 20079、 12+23+34+n(n+1) = （12+1）+（22+2）+（32+3）+.+（n2+n）=（12+22+32+.+n2）+（1+2+3+.+n）= + =1+2+3+.+n= 自然数的平方和公式：12+23+34+n(n+1) = 10、 = 2+2+2+2+2+213 = + +1 = + + = + + = + += + = = 11、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。解： a b 时， a b1 a b 时， ab=1 ab=0 a=0时， b=1 b=0时， a=112、若三个有理数满足，求的值。解：得 a、b、c必为二正一负，得 abc 0 = 1 第一讲 有理数的概念和性质 Page 6 of 6
