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1、第一讲 有理数的概念和性质一、【概念和性质】1、正数和负数正数:比0大的数。如+3、+1.5、+、+584(正号可以省略)负数:比0小的数。如3、1.5、584(负号不可以省略) 零:既不是正数,也不是负数。零是正数和负数的分界。【实际意义】如“零上”和“零下” “高出”和“低于”“上升”和“下降” “超出”和“不足”“盈利”和“亏损” “收入”和“支出” 如正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意义。例:用正数表示向南,那么向北3km可以用负数表示为3km,向南5km表示向北5km填空(1)若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米,则向西行驶1.5千米记作 ;汽车原地不动记作 。(2)某人
2、转动转盘,如果+2圈表示沿顺时针转2圈,那么圈3表示 。2、整数和分数统称为有理数。分数 (分子是1时,这个分数就是正数)无限循环小数无限不循环小数(无理数)有限小数小数无限小数 有理数可以写成(m、n是整数,n0)。 有理数的两种分类:自然数正分数负分数整数有理数正整数0负整数分数 按定义分:负整数负分数有理数负有理数正有理数正整数正分数 按符号分(常用):0(零既不是正数,也不是负数)几个重要概念(1)非负数:正数和零(2)非正数:负数和零(3)非负整数:正整数和零(4)非正整数:负整数和零3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。l 所有有理数都可以用数轴上的点表示,但不是数轴上所
3、有点都是有理数。小大-2 -1 0 1 2左边的数 右边的数 正数大于0,0大于负数,正数大于负数。 两个负数,绝对值大的反而小。4、绝对值的意义与性质: 数轴上表示的点与原点的距离叫做的绝对值,记作。一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。 非负性 非负数的性质: i)非负数的和仍为非负数。ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。5、绝对值相同,符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 几何特征:关于原点对称(到原点的距离相等)6、乘积是1的两个数是互为倒数(0没有倒数) 乘积是1的两个数是互为负倒数 正数的倒数是正数,负数的倒数仍是负数 除以一个不为
4、0的数,等于乘以这个数的倒数。【思考】已知a为有理数,判断下列语句是否正确: (a+)2是正数; (a)2是负数; a2+是正数; a2+的值不小于二、【基础练习】例1(1)一个月内小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值。(2)2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:美国减少6.4%,英国增长1.3%,中国增长7.5%,写出这些国家的增长率。解:(1)小明体重增长2kg,小华体重增长kg,小强体重增长0kg(2)美国增长率,英国为1.3%,中国为7.5%。例2 画出数轴并表示下列有理数1.5,0解:例3 写出下列各数的相反数:6,100
5、,0解:6的相反数是,的相反数是8,的相反数是3.9,的相反数是,的相反数是,100的相反数是,0的相反数是0例4 写出下列各数的绝对值:6,0解:,例5 比较下列各对数的大小:(1)和 (2)和 (3)和解:(1)先化简:,正数大于负数即(2), 即 (3)先化简: 填空 : 若a0,b0,那么a+ b 0; 若a0,b0,那么a+ b 0; 三、【培优练习】1、若的值等于多少?解:ab 0, 则a、b同号,=1若都是正号,得 +=2 , 得数为21=1若都是负号,得 +=2 , 得数为21=32、如果是大于1的有理数,那么一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方解:
6、D3、已知两数、互为相反数,、互为倒数,的绝对值是2,求的值。解: 已知 +b=0 ,=1 , x=2 原式= 4x+01=3x =32=5或14、已知,求的值是( )A.2 B.3 C.9 D.6解:根据非负性,有 a-3=0, b-2=0 得 a=3, b=2 = 32 = 95、三个有理数的积为负数,和为正数,且则的值是多少?解:由 abc 0 设c 0, 得a、b同号由a+b+c0 得 a 0 b 0X=1+1-1+1-1-1=0 所以 = 16、若为整数,且,试求的值。解: 即 a-b2007+ a-c2007=0 b、c 具有同等性 可设 a-b=1 且 c-a=0 b-c= b-
7、a=1 = 0+1+1=2【巩固练习】1、下面哪些数是正数?是负数? 5,0,0.56,2、某地一天中午12时气温是7,过5小时气温下降了4,又过7小时气温又下降了4,第二天0时气温是多少?3、化简下列各数:,4、比较下列各数大小:(1)和 (2)和5、 写出下列各数的相反数 ,0,6、写出下列各数的绝对值:,07、 如果,那么一定是2吗?如果,则等于几?若则等于几?8、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+2005+20069、计算:12+23+34+n(n+1)10、计算:11、已知为非负整数,且满足,求的所有可能值。12、若三个有理数满足,求的值。【答案】1、 正数:5,0.56;负数:
8、,中午12时7过5小时(5点)下降了4 3过7小时(12点/0点)下降了4 12、3、 68,4、(1) (2)5、4,1.5,0,6、125,23,3.5,07、(1)可以是2或 (2) (3)8、 1+2-3-4+5+6-7-8+2005+2006 = (4)20044+2005+2006 = 2004+2005+2006 = 20079、 12+23+34+n(n+1) = (12+1)+(22+2)+(32+3)+.+(n2+n)=(12+22+32+.+n2)+(1+2+3+.+n)= + =1+2+3+.+n= 自然数的平方和公式:12+23+34+n(n+1) = 10、 = 2+2+2+2+2+213 = + +1 = + + = + + = + += + = = 11、已知为非负整数,且满足,求的所有可能值。解: a b 时, a b1 a b 时, ab=1 ab=0 a=0时, b=1 b=0时, a=112、若三个有理数满足,求的值。解:得 a、b、c必为二正一负,得 abc 0 = 1 第一讲 有理数的概念和性质 Page 6 of 6