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1、正方形的性质与判定,邻边相等的矩形,想一想:正方形是怎样的矩形?,矩形,正方形,自主探究,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想:正方形是怎样的菱形?,自主探究,有一个角是直角,有一组邻边相等,回忆,如何在平行四边形的基础上来定义正方形,给正方形下个定义,定义:一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,菱形,矩形,平行四边形,平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。,正方形的性质=,A,C,D,B,A,C,D,B,A,C,D,B,O,对边平行, 四条边都相等,四 个 角 都是直角,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组
2、对角,四边形ABCD是正方形 ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形 A=B=C=D=90,四边形ABCD是正方形 ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,轴对称图形 中心对称图形,性质应用,例1:如图1-18,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.,解:BE=DF,且BEDF.理由如下:,(1)四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE=90(正方形的四条边都相等,四个角都是直角). DCF=180-BCE=180-90=90. BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF.
3、BE=DF.,(2)延长BE交DE于点M,(如图1-19). BCEDCF. CBE=CDF. DCF=90. CDF+F=90. CBE+F=90. BMF=90. BEDF.,1、如图,点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上,BE=CF. (1)AE与BF相等吗?为什么? (2)AE与BF是否垂直?说明你的理由。,变式练习,2如图(5),在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证:(1) ACFDCB (2) BHAF,证明:,3.已知:如图,ABCD和AKLM都是正方形,求证:MD=KB。,正方形的性质的应用,
4、例1、如图,正方形ABCD中, (1)一条对角线把它分成 个全等的三 角形。,问:这些三角形是什么三角形?,(2)两条对角线把它分成 个全等的 三角形。,2,4,等腰直角,A,B,D,C,O,(3)对角线AC与正方形的一边所成的角为 度。,45,例2、如图,正方形ABCD中,,正方形的面积为64平方厘米,则正方形对角线AC= 。,正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等.,巩固训练,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质( ) A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.,B,D,3
5、.正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,25,30,3.正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,25,30,(变式)如图所示,正方形ABCD中,P为BD上一点,PEBC于E, PFDC于F。试说明:AP=EF,解:,连接PC,PEBC , PFDC,而四边形ABCD是正方形,FCE=90,四边形PECF是矩形,PC=EF,又四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形,AP=PC,AP=EF,5.如图,四边形ABCD是正方形,延长BC到E,使CE=AC,连接AE,
6、交CD于F,求E, AFC的度数.,F,4.如图,正方形ABCD中,BE=BD,求E,正方形ABCD中,E是BC延长线上一点,且CE=AC, AE交DC于点F,试求E, AFC的度数,解:,正方形ABCD的四个角均为直角,且对角线平分一组对角。,CE=AC,E=CAE,ACB是ACE的一个外角,ACB=E+CAE=2E,AFC是CEF的一个外角,AFC=E+FCE=22.5+90=112.5,E=22.5, AFC=112.5,j,F,E,A,B,D,C,3.正方形ABCD中,M为AD中点,MEBD于E,MFAC于F,若ME+MF =8cm,则AC=_.,课堂练习,2.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PEAC于E,PFBD于F,则PE+PF=_.,5,30,16cm,1.以正方形ABCD的一边DC向外作等边DCE,则AEB=_. (变式:课本22页 第2题),分析:PE=AE,PF=OE PEPFOA,