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1、韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于的方程,当 时,方程有两个正数根;当 时,方程有一个正根,一个负根;当 时,方程有一个根为0。2、已知一元二次方程的两根为、,则 3、如果,是方程的两个根,那么 4、已知,是方程的两实数根,则的值为_5、设、是方程的两个根,则 6、若方程的两根为,则 7、已知、是关于的方程的两个实数根,且,则 8、已知关于的一元二次方程的两根为和,且,则 , 。9、若方程的两根之比是2:3,则 10、如果关于的方程的两根差为2,那么 。11、已知方程两根的绝对值相等,则 。12、已知方程的两根互为相反数,则 。13、已知关于的一元二次方程两根互为倒数,则 。14
2、、已知关于的一元二次方程。若方程的两根互为倒数,则 ;若方程两根之和与两根积互为相反数,则 。15、一元二次方程的两根为 0 和 1,则 。16、已知方程,要使方程两根的平方和为,那么常数项应改为 。17、已知方程的一个根比另一个根小4,则 ; ; 。18、已知关于的方程的两根立方和为 0,则 19、已知关于的方程的两根为、,且,则 。20、若方程与有一个根相同,则 。21、一元二次方程的两根与的两根之间的关系是 。22、请写出一个二次项系数为1,两实根之和为3的一元二次方程: 23、已知一元二次方程的两根之和为 5,两根之积为 6,则这个方程为 。24、若为实数且,则以为根的一元二次方程为
3、。(其中二次项系数为1)25、求作一个方程,使它的两根分别是方程两根的二倍,则所求的方程为 。二、解答题 1、已知m,是一元二次方程的两个实数根,求的值。2、设、是方程的两个根,求 的值。3、已知、是方程的两个实数根,且(1)求、及的值; (2)求的值4、已知、是一元二次方程的两个实数根,且,求和的值。5、已知,且,求的值。6、设:,且,求的值。7、已知:是关于的二次方程:的两个不等实根。(1)若为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;(2)若时,求的值。8、已知关于的二次方程的一个根是,求另一个根及的值9、已知方程的一根是5,求方程的另一根及的值。10、已知是的一根,求另一根和的值。11、
4、(1)方程的一个根是,则另一个根是 。 (2)若关于的方程的两个根中只有一个根为0,那么应满足 。12、如果是方程的一个根,则 ,另一个根为 。13、已知关于的方程的一个根是2,求它的另一个根及的值。14、已知关于的方程的一个根是2,求它的另一个根及的值。15、在解方程时,小张看错了,解得方程的根为1与3;小王看错了,解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?16、已知一元二次方程。(1)为何值时,方程的一个根为零?(2)为何值时 ,方程的两个根互为相反数?(3)证明:不存在实数,使方程的两个相互为倒数。17、方程中的是什么数值时,方程的两个实数根满足:(1)一个根比另一个根大2;(2)一
5、个根是另一个根的3倍;(3)两根差的平方是17。18、已知一元二次方程,根据下列条件,分别求出的值:(1)两根互为倒数;(2)两根互为相反数;(3)有一根为零;(4)有一根为1;20、已知关于的一元二次方程的两根之差为11,求的值。21、已知关于的二次方程有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求的值。22、已知方程有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求的值。23、已知关于的方程的两根满足关系式,求的值及两个根。24、已知关于的方程的两个实数根的平方和等于6,求的值25、是关于的一元二次方程的两个实数根,且满足,求实数的值26、是关于的方程的两个实根,并且满足,求的值。
6、 27、已知:是关于的方程的两根,求的值。28、已知关于的方程,问:是否存在正实数,使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.29、关于的一元二次方程的两实根之和等于两个实根的倒数和,求的值。 30、已知关于的一元二次方程()的两根之比为,求证:。31、已知方程和有一个相同的根,求的值及这个相同的根。32、已知关于的一元二次方程的两根为,且两个关于的方程与有唯一的公共根,求的关系式。33、已知、是关于的方程的两根、是关于的方程的两根,求常数的值。 34、已知方程的两实根是和,方程的两实根是和, 求和的值。35、已知,为实数,且.求下列各式的值:(1); (2)
7、。36、已知、是关于的方程的两个实数根;、是关于的方程的两个实数根,且,,求、的值。37、关于的方程有两个乘积为1的实根,有大于0且小于2的根,求的整数值。38、已知关于的方程两根相等,方程的一个根是另一个根的3倍。求证:方程一定有实数根。39、已知关于的一元二次方程(1)求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程两根为、,且满足,求的值40、关于的方程,其中、分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。(1)求证:这个方程有两个不相等的实根;(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长。41、已知关于的方程。(1)证明:不论取何值,这个方程总有两
8、个不相等的实数根;(2)为何值时,方程的两根之差的平方等于16?42、已知方程的两根之比为,方程的两根相等()。求证:对任意实数,方程恒有实数根。 43、如果关于的实系数一元二次方程有两个实数根,那么的最小值是多少? 44、已知方程的两根为、,且,又知根的判别式,求的值。 45、求一个一元二次方程,使它的两个根是和。46、已知方程,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。47、已知方程的两个根分别为、,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是: (1)、 (2)、48、已知两数之和为7,两数之积为12,求这两个数。49、已知两数的和等于6
9、,这两数的积是4,求这两数。50、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为,求这个直角三角形斜边的长 。51、已知关于的方程的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积。52、试确定使的根同时为整数的整数的值。53、已知一元二次方程,且是腰长为 7 的等腰三角形的底边长,求:当取何整数时,方程有两个整数根。54、已知关于的一元二次方程有两个实根和(),在数轴上,表示的点在表示的点的右边,且相距,求的值。答案一、填空题1、 ; ; 2、3、 64、 105、6、 107、 -18、 -2 ; -89、 310、 811、 012、 013、 ()14、 -1
10、() ; () 15、 116、 -217、 -4; 0; 018、 319、20、 3或021、 互为倒数22、23、24、25、二、解答题1、 原式2、3、(1) 解之 (2) ;原式4、, 解之或() 5、6、7、,且 (1)时,; 时,; (2),即 ,化简得,解得8、9、10、11、 (1); (2);12、 1 13、14、15、 所以原方程为,解得16、(1)方程的一个根为0,即,此时;(2)方程的两根互为相反数,即,此时;(3)方程的两根互为倒数,即,此时,原方程为,()17、 (1) ; (2) ; (3)18、(1)方程的两根互为倒数,即,此时,(2)方程的两根互为相反数,
11、即,此时;(3)方程的一个根为0,即,此时;(4)方程的一个根为1,此时;解得;19、20、 ,解之21、,由题意可得 即,解得或(舍)22、不相等的两正根,则 ,由题意解得23、即当时,解得;当时,解得24、 ,化简得,所以或(舍)25、 , ,解得或(舍)26、 , 解得或(舍)27、 ,则有、 原式28、 ,化简得,或(舍)29、 即当时,解得(舍);当时,解得(舍);综上所述,30、 不妨设,则有, 得, 即31、 方法一:-得:,即 代入中得:,解得、当时,方程的解为; 方程的解为,符合题意;当时,方程的解为; 方程的解为,符合题意;综上所述,当时相同根为; 当时相同根为;方法二:-
12、得:,即 代入中得:,化简为,解得 或 当时由,相同根为; 当时相同根为;32、-得:,由题意得,所以 代入中化简得:,即, 33、34、35、,两边同除得,所以是同一方程的两根。 、 (1); (2)36、因为、,两式相加得:即,整理得,解得(舍)37、方程有两个乘积为1的实根,解得(舍)当时,方程化为即解得(不符合题意,舍去)所以,解得; 又是整数,38、方程有两根相等,方程中不妨设,则有, 得,即综上,;此时原方程化为,所以该方程一定有实数根。39、(1),所以该方程总有两个不相等的实数根; (2),解得40、(1),所以该方程总有两个不相等的实数根; (2),解得,所以三角形周长41、(1),所以该方程总有两个不相等的实数根; (2),解得42、方程不妨设,则有, 得,即方程中有两根相等,即综上,;此时原方程化为,所以该方程一定有实数根。43、,即原式当时,原式最小,为236-5418