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1、第 6 章,振 动,1,物体在一定的位置附近做来回往复的运动。,机械振动：,振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。,波动：振动状态在空间的传播。,任何复杂的振动都可以看做是由若干个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐运动。,2,6-1-1 简谐运动的基本特征,1.弹簧振子：一根轻弹簧和一个质点构成的振动系统。,F,胡克定律：,（k为劲度系数）,6-1 简谐运动,3,恢复力： 始终指向平衡位置的作用力,(1)在弹性限度内,弹性力F和位移x 成正比. (2)弹性力F和位移x 恒反向,始终指向平衡位置.,由牛顿第二定律：,得,令,方程解为：,4,2单摆,重力
2、对水平轴的力矩：,转动定理:,即,5,很小,得,令,方程解为：,6,3.复摆,重力力矩为：,由转动定理，并考虑小角度摆动,令,则复摆的动力学方程：,方程解为：,7,简谐运动的三项基本特征：,运动的速度：,加速度：,8,周期T：完成一次全振动所经历的时间。,A ：振幅 （最大位移，x =A ）, ：角频率 （圆频率）,频率：单位时间内完成全振动的次数。,6-1-2 描述简谐运动的物理量,9,弹簧振子的频率:,弹簧振子的周期:,结论：振动系统的频率和周期仅与系统本身的性质有关，而与其他因素无关。,由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为固有频率和固有周期。,单摆周期:,单摆频率:,10,称为
3、速度幅。 速度相位比位移相位超前/2。,称为加速度幅。 加速度与位移反相位。, ：振动的初相位 。,( t + ) ：振动的相位 。,11,比较：,结论：做简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比，而方向相反。,即,12,解题方法,由初始条件求解振幅和初相位：,设 t = 0时，振动位移：x = x0,振动速度：v = v0,13,注意：,满足上式的初相位可能有两个值，具体取哪个值应根据初始速度方向确定。,14,例1 如图,在光滑的水平面上,有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为1.60N/m,振子质量0.40kg,求在下面两种初始条件下的振动方程.(1)振子在0.10m的位置由静止释放;(2)振子在0
4、.10m处向左运动,速度为0.20m/s.,解,（1）,t=0, x0=0.10m, v0=0,15,（2）,振动方程：,t = 0, x0 = 0.10m, v0 = -0.20m/s,振动方程：,16,例2 如图,两轻质弹簧,弹性系数分别为k1和k2,两滑块质量分别为M和m ,叠放在光滑的桌面上,M与两弹簧连接着,M和m间存在摩擦,摩擦系数为.问m能跟随M一起水平运动,M的水平振动的最大振幅是多少?,解,m随M运动最大 加速度：,运动方程：,17,例3 如图,静止的弹簧振子质量M=4.99kg,一子弹质量m=10g以水平速度v0=1000m/s射入振子M并嵌入其中.弹簧的劲度系数k = 8
5、103 N/m,水平桌面光滑,求振动系统的振动方程.,解,动量守恒：,18,机械能守恒：,振动方程：,19,旋转矢量A在 x 轴上的投影点 M 的运动规律：,结论：,投影点M的运动为简谐振动。,6-1-3 简谐运动的旋转矢量表示法,20,旋转矢量A旋转一周，M点完成一次全振动。,旋转矢量的模A：振幅,旋转矢量A的角速度：角频率,t = 0 时，A与x 轴的夹角 ：初相位。,旋转矢量A与 x 轴的夹角( t+ )： 相位,周期：,21,例4 一质点沿x 轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s.当t = 0时,位移为0.06m,且向x 轴正方向运动.求:(1)振动方程;(2)如果在某时刻质点位
6、于x = -0.06m,且向x轴负方向运动,从该位置回到平衡位置所需最短时间.,解,(1)简谐振动表达式：,已知：A =0.12m , T = 2 s ，,初始条件：,t = 0 时， x0 = +0.06 m , v0 0,22,0.06 =0.12 cos ,振动方程：,(2)设在某一时刻 t1， x = - 0.06 m,23,用旋转矢量法求解， 直观方便.,24,例5 图为质点做简谐振动的x-t 曲线，求振动方程。,解,由旋转矢量图可知：,25,6-1-4 简谐运动的能量,振子动能：,振子势能：,26,谐振系统的总机械能：,27,（1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任
7、一时刻总机械能保持不变。,（2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。,（3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）,结论：,弹性势能,28,例6 当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半?,解,29,例7 如图U型管中的液体总长度为L，求该液体振动起来后的圆频率。,解,建立如图坐标系,解法一,液体受到的回复力（重力）：,运动方程：,30,解法二,液面升高到 y 时的机械能：,（常数）,对 t 求导，得：,31,例8 两物体M1与M2质量都为m,如图用轻质绳连接,M1放在光滑的桌面上,一端
8、用轻质的劲度系数为k的弹簧连接,M2通过轻质滑轮竖直垂挂.当弹簧为自然伸长时M1与M2的系统无初速度释放.求弹簧最大伸长量,M1的最大速度及振动周期？,解,设弹簧自然伸长处为原 点,建立如图坐标系,机械能守恒：,弹簧伸长量最大：,32,系统机械能对t求导,得：,平衡位置,平衡位置振子速度：,33,1.同一直线上两个同频率简谐振动的合成,某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：,6-2 简谐振动的合成,6-2-1 简谐振动的合成,34,一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。,结论：,35,36,例9 两个同方向的简谐振动曲线(
9、如图所示) （1）求合振动的振幅； （2）求合振动的振动方程。,解,37,2.同一直线上两个频率相近的简谐振动合成,相对于 的转动角速度：,两矢量同向重合时：,合振动振幅 极大,两矢量反向重合时：,拍现象：合振动的振幅时强时弱的现象,合振动振幅 极小,38,拍的周期：,拍的频率：,从解析式来分析：,39,随时间作缓慢周期性变化的振幅,拍周期：,40,41,3. 相互垂直的简谐振动的合成,两个同频率相互垂直简谐振动的合成,椭圆方程,42,讨论：,合振动的振幅,结论：质点在1、3象限做线振动,43,合振动的振幅,结论：质点在2、4象限做线振动,44,结论：质点振动轨迹为正椭圆,质点沿椭圆轨迹顺时针
10、右旋运动,为什么是右旋运动呢？,45,设：,46,结论：质点振动轨迹仍为正椭圆,质点沿椭圆轨迹逆时针左旋运动,47,（5）=其他值时,48,当两个频率成简单整数比时，合振动的轨迹呈封闭稳定的图形李萨如图,49,两个频率比为1:2的简谐运动的合成,如果将一系列角频率是某个基本角频率 （亦称主频）的整数倍的简谐运动叠加，则其合振动仍然是以 为角频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。,6-2-2 简谐运动的分解,50,一个以 为频率的周期性函数 f (t)，可以用傅里叶级数的余弦项表示为：,：主频,：n 次谐频,51,6-3-1 阻尼振动,阻尼振动：振动系统在恢复力和阻力作用下发生的减幅振动。,
11、：阻力系数,6-3 阻尼振动、受迫振动和共振,52,令,：振子的固有频率,：阻尼因子,动力学方程,53,方程解：,周期：,角频率：,54,讨论：,3.当( 2 = 02)时,为“临界阻尼”情况.是质点不做往复运动的一个极限.,1.阻尼较小时( 2 02),振动为减幅振动,振幅Ae- t 随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.,2.阻尼较大时( 2 02),振动从最大位移缓慢回到平衡位置,不作往复运动.,55,a：小阻尼,b：过阻尼,c：临界阻尼,56,6-3-2 受迫振动和共振,系统在周期性的驱动力持续作用下所发生的振动。,受迫振动：,驱动力：,周期性的外力
12、,1. 受迫振动,设：,57,由牛顿第二定律,令,方程的解：,58,稳定后的振动表达式：,结论：受迫振动的频率与驱动力的频率相等。,受迫振动的振幅：,结论：稳态响应的振幅与外力幅值成正比。,受迫振动的初相位：,59,共振：当驱动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。,2.共振,求极值：,共振频率：,共振振幅：,0为固有频率,60,阻尼系数 越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率 0 ，同时共振振幅Ar也越大。,结论：,61,受迫振动的速度：,速度幅：,时，速度幅极大,在速度共振条件下稳态振动的初相位为,结论：速度和驱动力有相同的相位。即策动力对振动系统始终做正功。,速度共振,62,1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。,63,
