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1、立体几何知识点整理姓名： 一 直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内符号表示： 二 平行关系：1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用线面垂直实现。 若，则。方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、m不重合，则。2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用平面法向量实现。若为平面的一个法向量，且,则。3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现。三垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。2. 面面垂直： 方法一：
2、用线面垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。方法二：三垂线定理及其逆定理。方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则。三 夹角问题。(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：(2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：(二) 线面角(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。(2)范围： 当时，或当时，(3)求法
3、：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(为平面的一个法向量)。(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角l的平面角。(2)范围： (3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。步骤一：计算步骤二：判断与的关系，可能相等或者互
4、补。四 距离问题。1点面距。方法一：几何法。步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，则异面直线m和n之间的距离为：五 空间向量(一)空间向量基本定理若向量为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对，使得。(二) 三点共线，四
5、点共面问题1. A，B，C三点共线，且当时，A是线段BC的 A，B，C三点共线2. A，B，C，D四点共面，且当时，A是BCD的 A，B，C，D四点共面(三)空间向量的坐标运算1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：， 则： ; 2. 若空间中的向量，则 六 常见几何体的特征及运算(一) 长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为，则3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。(二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六) 体积： (七) 球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式： 体积公式： 5
