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1、抛物线及其标准方程,广州一中 罗小颖,与一个定点F( c , 0 )的距离和一条定直线 l : 的距离的比 是常数 的点的轨迹,,时是椭圆,,当,当,时是双曲线,,那么当 时是什么曲线呢?,椭圆、双曲线的第二定义,动画演示,平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l不经过点F)的距离相等的点的轨迹,平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点 F 叫做抛物线的焦点。 定直线 l 叫做抛物线的准线。,一、定义,F,M,l,N,二、标准方程,如何建立直角坐标系?,二、标准方程,K,设KF= p,设点M的坐标为(x,y),,由定义可知,,方程 y2 = 2px(
2、p0) 叫做抛物线的标准方程,其中 p 为正常数,它的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离,它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上,一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其它形式。,想一想: 抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式?,对称性: 以坐标轴为对称轴抛物线的轴 焦点在抛物线的轴上 准线与对称轴互相垂直 顶点: 抛物线与轴的交点顶点 顶点是原点,根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系, 如何判断抛物线的焦点位置、开口方向?,问题:,( 1 ) 一次项的变量如果为X(或Y),则焦点就在X轴(或Y轴)上。 (
3、2 ) 一次项的系数决定了开口方向: 正数与正半轴同方向, 负数与负半轴同方向。,小结,例1、(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;,(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,2), 求它的标准方程。,例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。,解:(1)当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=,(2)当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,练习:,1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:,(1)焦点是F(3,0);,(2)准线方程 是
4、x = ;,(3)焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,例3、M是抛物线y2 = 2px(P0)上一点(如图), 若点M 的横坐标为X0, 则点M到焦点的距离是,(x0, y0),焦半径公式,练习2 (1)抛物线y2 = 2px(p0)上一点M到焦点距 离是a( ),则点M到准线的距离是 _,点M的横坐标是_; (2)抛物线y2 = 12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是_,a,(6,6 ),(6,6 ),小 结 :,1、抛物线的定义、标准方程类型与图象的 对应关系及其判断方法。判断方法,2、抛物线的标准方程和它的焦点、准线方程。,3、注重数形结合的思想。,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,(5,0),x= -5,(0,-2),y=2,