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1、SARS传播的数学模型摘 要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当1 =1.5 和2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型
2、一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。关键词：SARS 微分方程 曲线拟合 数学模型 相轨线本文首先分析评价了附件1中SARS传播的数学模型，指出该模型可以对疫情走势进行预测,但同时也存在一定缺点，第一，混淆了累计病例数与累计确诊人数的概念；第二，对参数的确定缺乏根据；第三，预测时借助了其他地区的参数，偏差较大. 本文针对其缺点建立了一个比较完善的传播模型. 该传播模型按政府开始控制
3、的时刻分为控制前与控制后两个模型，两个模型均以潜伏期5天为周期，以一个周期为整体建立差分方程模型. 再结合5月15日以前北京疫情的公开数据，配合不同的政府监控力度，对整个北京的SARS疫情状况进行了预测.预计政府的监控力度一直保持在5月10日5月15日的水平上时，6月10日6月15日北京将会无新增病例，最后累积病例数为2993.对卫生部门采取的措施进行了评价：若提前或延后5天采取严格的隔离措施最后累计病例数分别为1300多与5200左右. 进一步通过对人群的不同分类，建立了两个微分方程组，可分别预测出实际发病人数、不可控/可控带菌者人数与当天疑似病例数、累计确诊人数、不可控/可控带菌者人数及治
4、愈、死亡人数，结合两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难.可以通过搜集更多的数据和资料加以解决. 本文同时就外国来京旅游人数受SARS的影响，建立了模型，估算出4、5、6、7四个月中北京地区入境旅游人数比往年同期减少了94.8万人，旅游经济损在4.74亿美元至9.48亿美元之间.并预测出在2003年10月上旬，旅游人数将恢复到正常水平. 最后给报纸写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的必要性与重要性. 一、问题的提出 公元2003年春天，一种叫SARS的病毒从天而降，降到人类赖以生存的星球，降到中国人的头上.SARS究竟是什么，它为什么会代给人类这么多
5、的伤痛与如此难以“磨灭”的印象？ SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病.SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性.现需对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性.（2）建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足
6、够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计.附件2提供的数据供参考. （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测.附件3提供的数据供参考. （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.（美元） （美元） 海外旅游接待人数减少人 上面仅就北京的海外旅游接客人数进行预测分析，从而不难看出，这场非典灾难对旅游业造成的损失相当巨大。 5. 对经济其它方面的影响 据有关资料显示： 非典对旅游业的影响预计在亿元左右.非典对零售业的影响预计在左右.非典对零售业的冲
7、击主要是使消费者信心受挫，压抑消费者的消费心理.我但从全年来说，预计损失在左右.非典对餐饮业的影响约为以上.非典对建筑业的影响相对滞后.由于建筑业关联性较大，对经济可能产生滞后影响.随着非典疫情的控制，估计月份以后，影响将逐渐减弱.非典对房地产业具有潜在影响.目前由于非典影响，使北京市房地产即期销售减少，新开工和部分在建工程进度可能延迟，开发商资金压力较大，银行利息增加，具有潜在影响.医药、通讯、保险行业受益较大. 根据上面的资料显示以及对旅游业的定量分析，我们认为非典对北京第业冲击较小，预计仍保持稳定增长趋势；对第二产业总体影响有一定的滞后期.第三产业短期内受冲击比较大是不可避免的，尤以旅游
8、及其相关行业损失最大.但因消费需求具有较强的惯性和刚性，不会长期压抑. 6 .模型的推广 本模型还可以研究许多传染病（如水痘，腮腺炎等）的传播规律，为相关部门提供较合理的病情传播信息，以更好地制定在传染病流行期间，给单位部门的防止措施和生产计划！ 7.模型的评价 (1) 利用“时间序列法”预测在没有非典情况下，2003年北京市每月海外旅游者 的接客数量，并得到了合理的结果。 (2) 根据旅游业的自身特点和大众消费心理，用二次曲线 对 从高峰期开始的数据进行最小二乘拟合，在实际情况（出现非典）下进行预测。通过大量资料的调查，可以表明预测结果是合理的。 (3) 我们搜集了有关海外旅游人员在国内的平
9、均消费量数据，并以此算出在非典时 期，该旅游行业的总损失。根据得到的结果，可以更形象地说明非典对旅游业造成的巨大负面影响！ (4) 我们仅对在非典时期北京市接待海外旅游者的人数建立数学模型，还有对其它 经济方面的影响数据未收集。 (5) 在实际情况（出现非典）下进行预测时，还可以考虑更好的数学方法，以得到 更为合理的结果！ 七、参考文献 1 中国科学院遥感应用研究所, “早发现、早隔离、早治疗”对于控制SARS疫情的定量分析，http:/ 2003/9/24 2 卫生部：“非典”疫情监测报告实施方案（全文）, http:/ 3景学成，非典对北京经济的影响因素， http:/ 4 寿纪麟，数学建
10、模方法与范例，西安：西安交通大学出版社，1993年 5 赵静 但琪等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社， 2000年 6 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社， 1993年 附件 附件一 给当地报刊的短文 数学枪模型弹 瞄准病毒一二三 2002年末，一种叫SARS的病毒看中了我们耐以生存的蓝色星球，决定在这里繁衍生息。它们站在这颗星球的主人人类的头上大声叫嚣：“我是病毒我怕谁？” SARS确实厉害，在人类可以为自己在科技、医学等各方面的巨大成就而骄傲的时候，它给足了人类颜色。由于我们品种齐全的“杀虫剂”中没有“灭SARS牌”的药剂，所以它们把整个世界搞得天昏地暗所做的工作，仅仅是轻轻
11、推倒多米诺骨牌的第一张。 在这种危急时刻，人类的政治、科技领袖们带领大家扬着科学的旗帜，同舟共济，赢得了非典狙击战的巨大胜利。而这其中，传染病数学模型的建立起到了至关重要的作用。 首先，正确的传染病模型客观反应了病毒的传播规律，为预测和控制传染病提供了必要前提；为我们的生产生活提供了科学的依据与正确的指导方向。例如：中科院非典模型研究小组建立的非典预测模型，就为我国的非典控制和消除起到了十分有效的指导作用！其实，我们也正是通过这些传染病模型，积极阻断非典的传播途径，加大监控力度，以致最终取得这场战争的胜利。 其次，传染病模型并非仅仅可以描述病毒的传播规律。一种传染病的流行，还会使国民经济，政治
12、，文化受到冲击。例如SARS对旅游业的负面影响巨大，有了SARS传播的数学模型，就可以预测SARS对旅游业的影响，估算损失。例如：通过SARS传播的数学模型，我们建立了非典对北京市接待海外旅游者人数影响的数学模型，并利用建立的模型预测出十月上旬左右北京市的海外旅游者的接客数量将会恢复到正常水平；在非典时期该旅游行业的总损失在美元到美元之间！海外旅游接待人数将会减少人！通过现有资料的调查，可以说明我们的预测结果是合理可行的。当然亦可以分析SARS对其它方面的影响。这样，各相关部门可以根据模型所提供的病情预测，更好地制定在传染病流行期间，其防止措施和生产计划，使疾病造成的损失降到最小！这足以说明建
13、立传染病模型的重要性！ 知己知彼是我们在这场与SARS的斗争中取胜的法宝。传染病数学模型的建立，不仅是我们在这场战役中使用的强大武器也是一支指挥棒。一个正确的数学模型，能客观反应事物内在规律，有科学的预见作用。而在进行了科学预测之后，我们才能对症下药，对传染病的传播加以正确控制，并达到事半功倍的效果。 马克思指出：一种科学只有成功地应用数学时，才算达到了真正完美的地步。有了传染病数学模型这个强有力的科学武器做指导，再面目狰狞的传染病我们也有科学的决策去应对它！ 数学枪模型弹，瞄准病毒，一二三，开枪！ 附件二 “SAS的传播”原模型的半模拟循环计数法程序 N0=1;%北京的初始非典病例 k=0.
14、13913;%开始阶段的每个病人平均传染概率 t=1:59;%高峰前的非典传播时间 N1(1)=N0*k; %该循环统计疫情高峰前的累积病例 for i=1:59 if i=2 N1(i)=N(i)-N(i-1);%每天新增病例 end end if i=20 N(i)=(N(i-1)-N0)*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end if i20 N(i)=(N(i-1)-N(i-20)*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end end k1=0.0273;%10天过渡后的每个病人平均传染概率 %在10天的过渡期，分四次调整k值 k2=k*5/
15、12; i k=k-k2 for j=1:3 i=i+1; N(i)=(N(i-1)-N(i-20)*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end k2=k/4; k=k-k2 for j=4:6 i=i+1; N(i)=(N(i-1)-N(i-20)*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end k2=k/2.75; k=k-k2 for j=7:10 i=i+1; N(i)=(N(i-1)-N(i-20)*k+N(i-1); N1(i)=N(i)-N(i-1); end i k=k1 %该循环求疫情消失后的累积病例 while N(i)-N(i-1)1 i=i+1;
