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1、第七节抛物线2019考纲考题考情1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0注：抛物线上P点坐标为(x0，y0)。抛物线焦点弦的4个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦
2、点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2。(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)。(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。 一、走进教材1(选修21P72练习T1改编)过点P(2,3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y。故选A。答案A2(选修21P73A组T3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个 B1个C2个 D4个解析设P(x1，y1
3、)，则|PF|x125，y8x1，所以x13，y12。故满足条件的点P有两个。故选C。答案C二、走近高考3(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8解析根据题意，过点(2,0)且斜率为的直线方程为y(x2)，与抛物线方程联立消元整理得：y26y80，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，从而可以求得03248。故选D。解析：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25
4、，x1x24。易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188。故选D。答案D4(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|_。解析抛物线y28x的焦点F(2,0)，设M(x1，y1)，N(0，y2)，由题意得又y8x1，解得y8，y4y32，故|FN|6。答案6三、走出误区微提醒：忽视p的几何意义；忽视k0的讨论；易忽视焦点的位置出现错误。5已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22x
5、Cy24x Dy24x解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)。设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x。故选D。答案D6设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_。解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，l与抛物线有公共点；当k0时，64(1k2)0得1k0或00)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p
6、10。答案(1)A(2)10考点二 抛物线的标准方程【例2】如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由抛物线定义得|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以33a6，从而得a1，|FC|3a3，所以p|FG|FC|，因此抛物线的方程为y23x，故选C。答案C求抛物线的标准方程应注意以下几点1当坐
7、标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种。2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系。3要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。 【变式训练】(1)(2019湖北联考)已知抛物线y22px(p0)，点C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()Ay24x By24xCy28x Dy28x(2)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是(
8、)Ax216y Bx28yCx2y Dx2y解析(1)因为ABx轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|2p，所以SCAB2p24，解得p4或12(舍)，所以抛物线方程为y28x，所以直线AB的方程为x2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y28x。故选D。(2)因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2。因为双曲线的渐近线方程为bxay0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以2，解得p8，所以抛物线C2的方程是x216y。答案(1)D(2)A考点三 抛物线的几何性质【例3】(2019洛阳高三统考)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦
9、点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则()A16 B4C D解析因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|CF|，所以。由抛物线的定义得|AF|xA，|DF|xD。由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16。故选A。解析：同上面解法得。过A，D作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，D1，该直线AF交准线于点E，准线交x轴于点N，则由FNAA1得，由直线AF的斜率为得tanA1AF，故。又|AA1|AF|，故，所以|AF|AA1|NF|p。同理可得，又|DD1|DF
10、|，所以，故|DF|DD1|NF|p，故16。故选A。答案A过抛物线的焦点的直线与抛物线相交时，首先要想到利用抛物线的定义寻找相等关系，实现条件的转化。 【变式训练】(2019西安八校联考)如图，抛物线W：y24x与圆C：(x1)2y225交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则PQC的周长的取值范围是()A(10,12) B(12,14)C(10,14) D(9,11)解析由题意得，抛物线W的准线l：x1，焦点为C(1,0)，由抛物线的定义可得|QC|xQ1，圆(x1)2y225的圆心为(1,0)，半径为5，故PQC的周长为|QC|PQ|PC|xQ1(xPxQ)56xP。联立，得得A(4,4)，则xP(4,6)，故6xP(10,12)，故PQC的周长的取值范围是(10,12)。故选A。解法一：平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临
