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1、课时跟踪检测(三十二)三角函数与平面向量的难点问题集释1在非等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(BC)sin2Bsin2C,则角A的取值范围为()A.B.C. D解析:选D由题意得sin2Asin2Bsin2C,由正弦定理得a2b2c2,即b2c2a20,则cos A0.因为0A,所以0A,又a为最大边,所以A,即角A的取值范围为.2已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin Asin B,b,则ABC的面积的最大值为()A. B.C. D解析:选A根据正弦定理由sin Asin B,可得ab,得a2b2c(ac),即a2c2
2、b2ac,故cos B,B(0,),B.又由b,可得a2c2ac3,故a2c2ac32ac,即ac3,当且仅当ac时取等号,故ac的最大值为3,这时ABC的面积取得最大值,为3sin.3在钝角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos Absin A,则sin Asin C的最大值为()A. B.C1 D解析:选Bacos Absin A,由正弦定理可得,sin Acos Asin Bsin A,sin A0,cos Asin B,又B为钝角,BA,sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A22,sin Asin C的最
3、大值为.4已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若abcos Ccsin B,且ABC的面积为1,则b的最小值为()A2 B.3C. D解析:选A由abcos Ccsin B及正弦定理,得sin Asin Bcos Csin Csin B,即sin(BC)sin Bcos Csin Csin B,得sin Ccos Bsin Csin B,又sin C0,所以tan B1.因为B(0,),所以B.由SABCacsin B1,得ac24.又b2a2c22accos B2acac(2)(42)4,当且仅当ac时等号成立,所以b2,b的最小值为2,故选A.5(2019合肥质检)在锐角AB
4、C中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C若a,则b2c2的取值范围是()A(5,6 B.(3,5)C(3,6 D5,6解析:选A由正弦定理可得,(ab)(ab)(cb)c,即b2c2a2bc,所以cos A,则A.又2,所以b2c24(sin2Bsin2C)4sin2Bsin2(AB)4sin 2Bcos 2B42sin4.又ABC是锐角三角形,所以B,所以2B.所以b2c2的取值范围是(5,66.如图,ABC是边长为2的正三角形,P是以C为圆心,半径为1的圆上任意一点,则的取值范围是()A1,13 B.(1,13)C(4,10) D
5、4,10解析:选A取AB的中点D,连接CD,CP,则2,所以()()21(2)2cos231cos,176cos,所以当cos,1时,取得最小值为1;当cos,1时,取得最大值为13,因此的取值范围是1,137已知RtABC中,AB3,BC4,AC5,I是ABC的内心,P是IBC内部(不含边界)的动点,若 (,R),则的取值范围是()A. B.C. D(2,3)解析:选A以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),A(3,0),C(0,4)设ABC的内切圆的半径为r,因为I是ABC的内心,所以(534)r43,解得r1,所以I(1,1)设P(x,y
6、),因为点P在IBC内部(不含边界),所以0x1.因为(3,0),(3,4),(x3,y),且,所以得所以1x,又0x1,所以,故选A.8(2019唐山模拟)在ABC中,(3),则角A的最大值为_解析:因为(3),所以(3)0,即(3)()0,整理得24320,即cos A2 ,当且仅当|时等号成立因为0A,所以0A,即角A的最大值为.答案:9(2018沈阳质监)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且满足4Sa2(bc)2,bc8,则S的最大值为_解析:由题意得,4bcsin Aa2b2c22bc,又a2b2c22bccos A,代入上式得,2bcsin A2bcc
7、os A2bc,即sin Acos A1,sin1.0A,A,A,A,Sbcsin Abc.又bc82,当且仅当bc时取“”,bc16,S的最大值为8.答案:810.如图,在RtABC中,ABAC,BC4,O为BC的中点,以O为圆心,1为半径的半圆与BC交于点D,P为半圆上任意一点,则的最小值为_解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y),故(x2,y),(1,2),所以x2y2.令x2y2t,根据直线的几何意义可知,当直线x2y2t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离公式可得1,t2,即的最小值是2.答案:211(2019长沙长郡中
8、学月考)已知F是抛物线y24x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,4(其中O为坐标原点),则ABO面积的最小值是_解析:不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),y10,由4,即x1x2y1y24得yyy1y24,得y1y28.所以SABO|x1y2x2y1|y1y2|4,当y12,y22时取等号,故ABO面积的最小值为4.答案:412(2018武汉调研)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足cos 2Acos 2B2coscos0.(1)求角A的值;(2)若b且ba,求a的取值范围解:(1)由cos 2Acos 2B2coscos0,得2sin2B2sin2A20,化简得sin A,又ABC为锐角三角形,故A.(2)ba,ca,C,B,sin B.由正弦定理,得,a,由sin B得a,3)故a的取值范围为,3)