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1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年江西T16，湖北T18等3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年广东T19等.归纳知识整合1数列综合应用题的解题步骤(1)审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题(2)分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不
2、等式问题等(3)求解分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答具体解题步骤如下框图：2常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解探究银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1rn)，属于等差数列模型复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1r)n，属于等比数
3、列模型自测牛刀小试1(教材习题改编)已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()A4B6C8 D10解析：选B由题意知：aa1a4.则(a22)2(a22)(a24)，解得a26.2已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为()解析：选A由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2ylog2x2，所以y24x.又y0，x0，故M的轨迹图象为A.2412xyz3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为()A1B2C3D4解析：选C由题意知，第三列各数成等比数列，故x1；第
4、一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z；第一行第四个数为5，第二行第四个数为，故y，从而xyz3.4等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4_.解析：设数列an的公比为q，4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，解得q2.S415.答案：155已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk9(kN*)，则k的值为_解析：由Snan得当n2时，Sn(SnSn1)，即Sn2Sn11.令Snp2(Sn1p)得Sn2Sn13p，可知p.故数列是以为首项，以2为公比的等比数列则Sn(2)n1，即Sn(2)n1.由1(2)k1
5、9，kN*得k4.答案：4等差数列、等比数列的综合问题例1在等比数列an(nN*)中，a11，公比q0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an.自主解答(1)证明：bnlog2an，bn1bnlog2log2q为常数，数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)b1b3b56，b32.a11，b1log2a10.b1b3b50，b50.解得Sn4n(1).an25n(nN*)在本例(2)的条件下，试比较an与Sn的大小解：显然an25n0，当n9时，Sn0，n9时，anSn.a116，a28，a34，a4
6、2，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77， S84，当n3，4，5，6，7，8时，anSn.解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法1(2013青岛模拟)已知等差数列an的公差大于零，且a2，a4是方程x218x650的两个根；各项均为正数的等比数列bn的前n项和为Sn，且满足b3a3，S313.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列
7、cn满足cn求数列cn的前n项和Tn.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q.由x218x650，解得x5或x13.因为d0，所以a20，解得b11，q3.所以bn3n1.(2)当n5时，Tna1a2a3ann42n2n；当n5时，TnT5(b6b7b8bn)(2525).所以Tn数列与函数的综合应用例2(2012安徽高考)设函数f(x)sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.(1)求数列的通项公式；(2)设的前n项和为Sn，求sin Sn.自主解答(1)令f(x)cos x0，即cos x，解得x2k(kZ)由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn2n(nN*)(2)由(1)
8、可知，Sn2(12n)nn(n1)，所以sin Snsin.因为n(n1)表示两个连续正整数的乘积，n(n1)一定为偶数，所以sin Snsin .当n3m2(mN*)时，sin Snsin；当n3m1(mN*)时，sin Snsin；当n3m(mN*)时，sin Snsin 2m0.综上所述，sin Sn解决函数与数列的综合问题应该注意的事项(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化2已知函
9、数f(x)x2x1，是方程f(x)0的两个根()，f(x)是f(x)的导数，设a11，an1an(n1,2，)(1)求，的值；(2)已知对任意的正整数n，都有an，记bnln(n1,2，)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)由方程x2x10解得方程的根为x1，x2，又，是方程的两个实根，且，.(2)f(x)2x1，an1anan.an(n1,2,3，)，且a11，b1lnln4ln.或b1lnlnln2ln2ln24lnbn1lnlnlnln2ln2bn.即bn是以b1为首项，2为公比的等比数列故数列bn的前n项和Sn(2n1)4ln(2n24)ln.数列与不等式的综合应用例3(2012广东
10、高考)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1)又a11满足上式，故an3n2n.(3)证明：3，330成立的最小值n.解：(1)an是等比数列，设其公比为q，两式相除得，q3或q，an为递增数列，q3，a1.ana1qn13n123n5，bnlog3n5，数列bn的前n项和Sn(n29n)(2)Tnb1b2b22b2n1(15)(25)(225)(2n15)5n0，即2n5n1.24551，nmin5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用例4(2012湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)自主解答(1)由题意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)
