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1、第四节变量间的相关关系、统计案例2019考纲考题考情1两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关。(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关。(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。2回归方程(1)最小二乘法使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。(2)回归方程方程x是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)
2、，(xn，yn)的回归方程，其中 ， 是待定参数。3回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中(，)称为样本点的中心。(3)相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关。r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强。r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常|r|大于075时，认为两个变量有很强的线性相关性。4独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量。(2)列联表：列出两
3、个分类变量的频数表，称为列联表。假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为22列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量K2，其中nabcd为样本容量。(3)独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。1求解回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本中心点(，)。2根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大。3根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值。 一、走进教材1(必修3P90例题改编)某研
4、究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表：x681012y2356则y对x的线性回归直线方程为()A23x07 B23x07C07x23 D07x23解析因为iyi6283105126158，9，4。所以07，407923。故线性回归直线方程为07x23。故选C。答案C2(选修23P97练习T1改编)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P(K23841)005，P(K25024)0025。根据表中数据，得到K2的观测值k4844。则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_。解析K2的观测值
5、k4844，这表明小概率事件发生。根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%。答案5%二、走近高考3(2017山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为x。已知i225，i1 600，4。该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A160 B163C166 D170解析易知225，160。因为4，所以1604225，解得70，所以回归直线方程为4x70，当x24时，9670166。故选C。答案C三、走
6、出误区微提醒：混淆相关关系与函数关系；不知道回归直线必过样本点中心；对独立性检验K2值的意义不清楚。4两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是()A BC D解析第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是。答案D5某医疗机构通过抽样调查(样本容量n1 000)，利用22列联表和K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关。计算得K24453，经查阅临界值表知P(K23841)005，
7、现给出四个结论，其中正确的是()A在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”解析由已知数据可得，有100595%的把握认为“患肺病与吸烟有关”。故选C。答案C6某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验。根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程为067x549。零件数x/个1020304050加工时间y/min62758189现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为_。解析设表中那个模糊看不清的数据为m。由表中数据得30，所以样本点的
8、中心为，因为样本点的中心在回归直线上，所以06730549，解得m68。答案68考点一 变量相关关系的判断【例1】(1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()A BC D(2)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，用回归直线方程x近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A线性相关关系较强，的值为125B线性相关关系较强，的值为083C线性相关关系较强，的值为087D线性相关关系较弱，无研究价值解析(1)观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性
9、相关关系。故选D。(2)由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比yx的斜率要小一些，综上可知应选B。答案(1)D(2)B相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具有相关性。 【变式训练】(1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样
10、本相关系数为()A1 B0 C D1(2)已知变量x和y满足关系y01x1，变量y与z正相关。下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关解析(1)完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为1。故选A。(2)由y01x1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关，故选C。答案(1)A(2)C考点二 线性回归分析【例2】改革开放40年来，全国居民人均可支配收入由171元增加到26万元，中等收入群体持续扩大。我国贫困人口累计
11、减少74亿人，贫困发生率下降944个百分点，谱写了人类反贫困史上的辉煌篇章。某地级市共有200 000名中学生，其中有7%的学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为532，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1 000元、1 500元、2 000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难学生，特别困难的学生中有n%转为很困
12、难学生。现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x取14时代表2014年，依此类推，且x与y(单位：万元)近似满足关系式x，(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变)(yi)2(xi)(yi)08311(1)估计该市2018年人均可支配年收入为多少万元？(2)试问该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少万元？附：对于一组具有线性相关关系的数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线方程u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，。解(1)因为(131
13、4151617)15，所以(xi)2(2)2(1)2122210，所以01，08011507，所以01x07。当x18时，2018年人均可支配年收入y01180711(万元)。(2)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200 0007%14 000人。一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7 000人、4 200人、2 800人，2018年人均可支配年收入比2017年增长0110%。故2018年该市特别困难的中学生有2 800(110%)2 520人，很困难的学生有4 200(120%)2 80010%3 640人，一般困难的学生有7 000(130%)4 20020%5
14、 740人。所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5 740013 6400152 520021 624(万元)。1对变量值的预测主要是由给出的变量的值预测与其有相关关系的变量的值，一般方法是：若已知回归直线方程，则直接将数值代入求得预测值。2回归模型的拟合效果主要有两种途径判断(1)利用数据的散点图，观察数据对应的点与回归直线的位置关系进行分析；(2)利用残差进行分析，最简单的作法是选择数据中的具有代表性的点进行预报，比较预报值与真实值的差距进行分析。 【变式训练】(2018全国卷)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图。为了预测该地区2018年的环境
