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1、西北农林科技大学实验报告学院名称：理学院 专业年级：2011级信计1班姓 名： 学 号：课 程：数学模型与数学建模 报告日期：2013年12月7日1 实验题目：日常生活中的数学模型铅球投掷模型2 实验问题陈述铅球投掷模型 表一给出了30组女子铅球投掷的实测数据，它们都是来自我国优秀女子铅球运动员在比赛中的观测结果。能否利用这些数据建模，对铅球的投掷给出进一步的分析。表1 我国优秀运动员的女子铅球数据出手速度出手角度出手高度铅球成绩V/(cm/s)/（。） h/m S/m13.5138.692.0020.3014.0835.131.9521.7613.8230.82.1020.4913.4036
2、.022.1120.2413.7734.642.0120.8413.4138.741.9220.0213.5635.331.7720.1014.0834.601.8921.5813.2339.132.1019.8413.3534.081.8919.2613.0939.932.0519.5013.8639.181.8519.8313.0739.681.9719.1713.3934.141.8319.6213.3037.741.7619.7613.5837.752.0220.7613.9539.062.0421.6613.5936.131.8820.4013.4538.152.0620.4313.
3、7634.381.9720.9013.5837.752.0220.7813.4840.562.0020.3313.3934.672.0119.8513.3538.271.9119.8113.3736.981.9519.6213.4638.981.8319.5913.2042.481.9819.5813.1838.621.8919.3613.2141.322.0319.8213.3836.101.9419.713 实验目的（1）了解日常生活中的模型的建立过程；（2）熟悉解决类似铅球投掷问题问题模型的设计过程并说明数学模型在体育训练方面的应用。4 实验内容（1）模型分析 先从简单方面建立模型，不考
4、虑投掷者在投掷圆内的用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的投掷的角度和初速度对铅球投掷远度的影响。 做出假设：铅球被看做是一个质点； 铅球运行过程中忽略空气的阻力; 投掷角和初速度是相互独立的（简化问题的分析）.（2）模型建立 先建立直角坐标系：以铅球出手点的铅垂方向为y轴，且向上为正方向，以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴。v0yxh图一 设铅球出手时的速度为，投掷角为为出手时的铅球的高度，t为铅球运动的时间，且t=0时出手（如图一所示）。 a 运用物理知识得到： 进而得到铅球运动轨迹方程： 如果铅球投掷远度为s，则可得到： 此式描述了s与铅球出手时的速度和投掷角度的关系，即铅球投掷模
5、型.（3）模型求解 利用MATLAB编程得到此模型中铅球投掷的远度s，并求模型与实际铅球成绩的绝对误差e1、相对误差e2与误差平方和e3。s = Columns 1 through 9 20.3995 21.4954 20.1419 19.9633 20.6468 20.0514 19.9228 21.3388 19.7701 Columns 10 through 18 19.3214 19.3859 21.2497 19.2452 19.3649 19.5100 20.5334 21.6847 20.2341 Columns 19 through 27 20.2561 20.5329 20.
6、5334 20.4164 19.6502 19.8443 19.8208 20.1131 19.6589 Columns 28 through 30 19.3967 19.7269 19.7377绝对误差：e1 = 6.3628相对误差：e2 = 0.3154误差平方和：e3 =3.2609（4）投掷模型： 分析以下两组表一中的数据： 出手速度出手角度出手高度铅球成绩V/(cm/s)/（。）h/mS/m13.0739.681.9719.1713.7634.381.9720.90可以看到第二组数据与都提高了，但与却降低了。也就是说随着的提高，即使是更接近于最佳出手角度，成绩反而降低了，主要原因在
7、于降低了，因此我们可以得出结论，与之间一定有某种关系。 假设1.滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度。2.在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间，记为。3.在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手角度相同。 改进的模型主要是描述出手速度的形成过程进而得到出手速度和出手角度之间的关系. 设x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标.据牛顿第二定律得到： 其中，m为铅球质量，F为对铅球的推力，a为铅球的出手角度.接着据前两个假设得到：由此得到铅球的合速度（即铅球的出手速度）： 其中，为推铅球时力的作用
8、时间.5.实验结果分析与讨论（1）模型一 分析图二和几个误差数据可以看出，两组数据之间的误差相对较小，可以得到出手时的初速度和投掷角度对铅球的投掷远度产生的作用很大，进而得出：单从误差结果来看，此模型是较合理。 但是进一步分析会发现出手速度与出手角度并不相互独立，因此我们需要对该模型进行改进，进而可以建立第二个模型。（2）模型二分析式子： 得出：v随着F和t0的增加而增大，也随着v0的增大而增大；另外由于0a90度，则v随着a的增加而减小。即当F和t0不变时，运动员要提高出手速度就必须减低出手角度.分析该模型还可以给出最佳出手角度 由F和t0不变时（给定时），计算最佳出手角度： 即可计算出最佳
9、出手角度.6 实验程序（Matlab或者其它软件语言陈述）%铅球出手时速度v=13.51 14.08 13.82 13.40 13.77 13.41 13.56 14.08 13.23 13.35 13.09 13.86 13.07 13.39 13.30 13.58 13.95 13.59 13.45 13.76 13.58 13.48 13.39 13.35 13.37 13.46 13.20 13.18 13.21 13.38;%铅球出手时角度a1=38.69 35.13 30.80 36.02 34.64 38.74 35.33 34.60 39.13 34.08 39.93 39.1
10、8 39.68 34.14 37.74 37.75 39.06 36.13 38.15 34.38 37.75 40.56 34.67 38.27 36.98 38.98 42.48 38.62 41.32 36.10;a=pi/180.*a1; %将测量的角度转化为弧度g=9.8;%重力加速度%铅球出手时的高度h=2.00 1.95 2.10 2.11 2.01 1.92 1.77 1.89 2.10 1.89 2.05 1.85 1.97 1.83 1.76 2.02 2.04 1.88 2.06 1.97 2.02 2.00 2.01 1.91 1.95 1.83 1.98 1.89 2
11、.03 1.94;%铅球成绩（即测量的远度）S1=20.30 21.76 20.49 20.24 20.84 20.02 20.10 21.58 19.84 19.26 19.50 19.83 19.17 19.62 19.76 20.76 21.66 20.40 20.43 20.9 20.78 20.33 19.85 19.81 19.62 19.59 19.58 19.36 19.82 19.71;% 利用模型计算的铅球远度式子s=v.2.*sin(2*a)/(2.*g)+sqrt(v.2.*sin(2*a)/(2.*g).2+2.*h.*v.2.*cos(a).*cos(a)./g)n,m=size(a);x=0:m-1;plot(x,S1,p-);hold on;plot(x,s,g-);title(铅球测得距离和利用模型计算的距离的对比图形);xlabel(序号数x);ylabel(铅球的远度s/S1/m);grid;legend(表中测量的铅球远度值,利用模型计算的铅球远度值);%绝对误差与相对误差、误差平方和的计算disp(绝对误差：);评阅：本次实习报告基本完成了实习任务，达到了实习目的。分数：91分e1=sum(abs(s-S1)disp(相对误差：);e2=sum(abs(s-S1)./S1)disp(误差平方和：)e3=sum(s-S1).2)
