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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1( )ABCD2设集合,则( )ABCD3函数的一个单调增区间是( )ABCD4下列四个数中最大的是( )ABCD5不等式的解集是( )ABCD6在中,已知是边上一点,若,则( )ABCD7已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( )ABCD8已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )A1B2C3D49把函数的图像按向量平移,得到的图像,则( )ABCD105位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有
2、( )A10种B20种C25种D32种11已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )ABCD12设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上,且,则( )ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 14已知数列的通项,则其前项和 15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm16的展开式中常数项为 (用数字作答)三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题
3、满分10分)设等比数列的公比,前项和为已知,求的通项公式18(本小题满分12分)在中,已知内角,边设内角,周长为(1)求函数的解析式和定义域;(2)求的最大值19(本小题满分12分)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件:“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率20(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面分别为的中点(1)证明平面;(2)设,求二面角的大小AEBCFSD21(本小题满分12分)在直角坐标系xO
4、y中,以O为圆心的圆与直线:相切(1)求圆O的方程(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求的取值范围。22(本小题满分12分)已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且(1)证明;(2)若z=a+2b,求z的取值范围。2007年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)数学(文)试题答案解析:一、选择题1.答案:C解析:,选C。2.答案:B解析:设集合,则,选B。3.答案:C解析:函数的一个单调增区间是,选C。4.答案:D解析: , ln(ln2)0,(ln2)2 ln2,而ln=ln2ln2, 最大的数是ln2,选D。5.答案:C解析:不等式的
5、解集是,选C。6.答案:A解析:在ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则=, l=,选A。7.答案:A解析:已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍,设底面边长为1,侧棱长为2,连接顶点与底面中心,则侧棱在底面上的射影长为,所以侧棱与底面所成角的余弦值等于,选A。8.答案:A解析:已知曲线的一条切线的斜率为,=, x=1,则切点的横坐标为1,选A。9.答案:C解析:把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移,即向右平移2个单位,向上平移3个单位,平移后得到y=f(x)的图象,f(x)= ,选C。10. 答案:D解析:5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方
6、法共有25=32种,选D。11.答案:D解析:已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, ,椭圆的离心率,选D。12.答案:B解析:设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上,且,则=,选B。第II卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案:解析:一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为14.答案:解析:已知数列的通项,则其前项和=15.答案:解析:一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径,现正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h, 2R=2=,解得h=,那么该
7、棱柱的表面积为2+4cm2.16.答案:57解析:的展开式中常数项为三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17. (本小题满分10分)解:由题设知,则 由得,因为,解得或.当时,代入得,通项公式;当时,代入得,通项公式.18. (本小题满分12分)解析:(1)的内角和,由得.应用正弦定理,知,.因为,所以,(2)因为,所以,当,即时,取得最大值.19. (本小题满分12分)解:()记表示事件“取出的2件产品中无二等品”,表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.则互斥,且,故于是.解得(舍去).()记表示事件“取出的2件产品中无二等品”,则.若该批产品
8、共100件,由(1)知其中二等品有件,故.20. (本小题满分12分)解:解法一:AEBCFSDHGM(1)作交于点,则为的中点.连结,又,故为平行四边形.,又平面平面.所以平面.(2)不妨设,则为等腰直角三角形.取中点,连结,则.又平面,所以,而,所以面.取中点,连结,则.连结,则.故为二面角的平面角.所以二面角的大小为.解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系.AAEBCFSDGMyzx设,则,.取的中点,则.平面平面,所以平面.(2)不妨设,则.中点又,所以向量和的夹角等于二面角的平面角.所以二面角的大小为.21.(本小题满分12分)解析:(1)依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,即.得圆的方程为.(2)不妨设.由即得.设,由成等比数列,得,即.由于点在圆内,故由此得.所以的取值范围为.22.(本小题满分12分)解:求函数的导数.ba2124O()由函数在处取得极大值,在处取得极小值,知是的两个根.所以当时,为增函数,由,得.()在题设下,等价于即.化简得.此不等式组表示的区域为平面上三条直线:.所围成的的内部,其三个顶点分别为:.在这三点的值依次为.所以的取值范围为.观察,旨在自然条件下,人们为一定目的而对事物所进行的有计划的知觉过程。观察法就是以感官活动为先决条件,与积极的思维相结合,系统地运用感官对客观事物进行感知、考察和描述的一种研究方法。11