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1、杨X高考135导师学堂 高考数学等差数列（AP）&等比数列（GP）性质综合一、AP考点总结和方法分析：定义递推式通项公式求和公式下标运算性质线性子数列性质分群求和性质最值性质：奇偶性： AP任意和公式： AP任意项公式： 一般式 判定方法 AP比例性： 二、基础题分析：等差数列的判断方法【例1】设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ B ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列下标运算性质【例2】等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是(C)AS7B
2、S8CS13 DS15 【例3】在等差数列中，公差1，8，则 （B ）A40B45C50D55【例4】是等差数列，且 则k= 8. 【例5】在等差数列中，若，则 .前n和公式【例6】是等差数列的前n项和，(n5，)， =336，则n的值是21. 等差中项【例7】设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16 .【例8】一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于（ D ）A22B21C19D18 【例9】等差数列中，0，若1且，则的值是 （ ）A 10 B 19 C20 D38最值性【例10】已知数列an为等差数列，若0的
3、n的最大值为19 【例11】等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值； 【例12】设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值 【例13】在等差数列，则在Sn中最大的负数为 （ ）AS17BS18CS19DS20 基本量法（知三求二）【例14】等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，则n为()A48 B49 C50 D51 【例15】等差数列中，则通项 ；【例16】数列 中，前n项和，则， ； 【例17】若ab,数列a,x1,x 2 ,b和数列a,y1 ,y2 ,b
4、都是等差数列，则 （ C ） A B C1 D【例18】在等差数列中，若，则n的值为 （ D ）A18 B17C16D15 点评：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）任意和公式【例19】等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。奇偶性【例20】项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数. 【例21】已知某数列前项之和
5、为，且前个偶数项的和为，则前个奇数项的和为 （ ）ABCD 比例性【例22】设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么 ；三、提高题分析：分段求和【例23】已知数列 的前n项和，求数列的前项和. 最值性【例24】数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。 （1）求数列公差；（2）求前项和的最大值；（3）当时，求的最大值。 【例25】已知数列，首项a 1 =3且2a n+1=S n S n1 (n2). （1）求证：是等差数列,并求公差；（2）求a n 的通项公式； （3）数列an 中是否存在自然数k0,使得当自然数kk 0时使不等式a ka k+1对任意大于等于
6、k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由. 三、易错题分析：公差范围【例26】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 ；【例27】已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是 （ B ） A(,2) B, 2 C(2, +) D( ,2)四、综合题分析：插入项分群【例28】己知为等差数列，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？ 二、GP考点总结和方法分析：定义递推式 通项公式求和公式下标运算性质
7、 等比中项线性子数列性质 分群求和性质极限性质：图象分析和单调性： 图象分析 加乘类比 任意和公式 一般式 判定方法 等额还款和等本 二、基础题分析：等比数列的判断方法【例1】已知且，设数列满足，且，则. 【例2】设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是下标运算性质【例3】已知等比数列，则 【例4】在等比数列中，公比q是整数，则=512【例5】各项均为正数的等比数列中，若，则10前n和公式【例6】在等比数列中，则= 等比中项【例7】在等比数列中，若，0，则2；【例8】一个直角三角形三内角的正弦
8、值成等比数列，其最小内角是 (B)A.arccos B.arcsin C.arccosD.arcsin【例9】设各项均为正数的数列an和bn满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn. 特别提示1.an为等比数列是an+12=anan+2的充分但不必要条件.2.若证an不是等比数列，只需证ak2ak1ak+1（k为常数，kN，且k2）.单调性【例10】若等比数列的公比，前项和为，则与的大小关系是（ A ）A. B. C. D. 不确定 【例11】等比数列的各项均为正数，其前项中，数值最大的一项是54，若该数列的前项
9、之和为，且=80，求：（1）前100项之和；（2）通项公式。 基本量法（知三求二）【例12】已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= 【例13】等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为 【例14】已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为 【例15】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。 点评：等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，
10、（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。分群性【例16】已知数列是等比数列，且，则=10+20+40 【例17】设等比数列的公比为，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项和中最大项为27，求数列的第2n项。(同例11)【例18】在等比数列中，则 线型子数列【例19】在等比数列中，公比，前99项的和，则_ 任意和公式【例20】设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_三、提高题分析：极限性【例21】已知（1）当时，求数列的前项和；（2）求 复利和单利【例22】银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸
11、收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于（ B ）A.B.（1+r）31C.（1+r）31D.r 加乘类比【例23】设等比数列的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列的前多少项和最大？ 三、易错题分析：等额还款和等本还款【例24】某人年初向银行贷款10万元用于买房：(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到一元)；(2)如果他向工商银行贷款，年利率为6%，分10次等本归还，每年一次，则总共还多少元？(精确到一元)。 四、综合题分析：子数列分群【例25】已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：，恰为等比数列，其中，求 17
