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1、第八章立体几何第1讲空间几何体及其表面积与体积考点梳理1多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台2旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面不垂
2、直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球3柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(rr)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR34.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和【助学微博】正棱柱与正棱锥的概念(
3、1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心一个考情解读(1)柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，以上考点以填空题出现，难度不大(2)简单几何体的表面积和体积多以常见几何体考查，主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力在近几年的高考题中频繁出现考点自测1下列说法正确的是_(
4、填序号)棱柱的面中，至少有两个面互相平行；棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案2.(2012南京模拟)已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为_解析如图，连接A1C，则外接球直径2RA1C，所以球的表面积为S4R217.答案173以长方体的各顶点为顶点，能构建四棱锥的个数是_解析设长方体ABCD A1B1C1D1，若点A为四棱锥的顶点，则底面可以为不过点A的矩形A1B1C1D1，矩形BCC1B1，矩形CDD1C1，矩形BB1D1D，矩形BCD1A1，矩形CDA1B1，共有6个
5、不同的四棱锥，8个顶点可以分别作为四棱锥的顶点，共6848(个)不同的四棱锥答案484如图，一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为_(填正确答案的序号)解析不论怎样去截这个球，都不可能出现这种情况而只要平面沿着正方体的一个对角面去截这个球，就会出现这种情况，所以答案是.答案5(2012南通调研)底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为_m2.解析如图，GEBE，AG1，所以AE ，所以三棱锥的全面积为22323.答案3考向一空间几何体的结构特征【例1】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是矩形的直四棱柱是长方体底
6、面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_解析对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确答案方法总结 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可【训练1】 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面是矩形
7、的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的答案考向二几何体的表面积与体积【例2】 (2012苏中三市调研)如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD60，BDC45，ADP BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PCR，求三棱锥PABC的体积解(1)BD是圆的直径，BAD90，又ADPBAD，DP3R.DP的长为3R.(2)在RtBCD中，CDBDcos 45R，PD2CD29R22R211R2PC2，PDCD，又PDA90，ADCDD，PD底面ABCD，则
8、SABCABBCsin(6045)RRR2.所以三棱锥PABC的体积为VPABCSABCPDR23RR3.方法总结 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视【训练2】(2013苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解 (1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1E
9、O1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D(cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336)(cm2)，S表S侧S上S下3262(cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.考向三切接问题【例3】 (1)(2012徐州二模)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_(2)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_解析(1)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O，O1分别为下
10、、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AOa2a2a2.所以S球4R24a2a2.(2)由题意知：当矩形为正方形时，其周长最小，其正方形边长为2，折起后，三棱锥DABC的外接球的半径为正方形对角线的一半，即R2，所以表面积为16.答案(1)a2(2)16方法总结 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的【训练3】 (1)(2012课标全国卷改编)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球
11、O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为_(2)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于，则球O的表面积等于_解析(1)设ABC外接圆的圆心为O1，则|OO1| .三棱锥SABC的高为2|OO1|.所以三棱锥SABC的体积V.(2)如图，设O为截面圆的圆心，设球的半径为R，则OM，又OMO45，OOR.在RtOOB中，OB2OO2OB2，R2，R22，S球4R28.答案(1)(2)8热点突破20等价与转化在求几何体体积中的应用1求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，
12、也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解2求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高易求【示例】 (2012苏北四市调研二)如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PACPBC90.(1)证明：ABPC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积审题与转化 第一步：第(1)问要证线线垂直，则需转化为证线面垂直；第(2)问求三棱锥PABC的体积，先作BEPC，连接AE，可转化为求以ABE为底，PC为高的两个三棱锥的体积规范解答 第二步：(1)因为PAB是等边三角形，所以PBPA.因为PACPBC90，PCPC，所以RtP
13、BCRtPAC，所以ACBC.如图，取AB中点D，连接PD、CD，则PDAB，CDAB，又PDCDD，所以AB平面PDC，PC平面PDC，所以ABPC.(2)作BEPC，垂足为E，连接AE.因为RtPBCRtPAC，所以AEPC，AEBE.由已知，平面PAC平面PBC，故AEB90.因为AEB90，PEB90，AEBE，ABPB，所以RtAEBRtBEP，所以AEB、PEB、CEB都是等腰直角三角形由已知PC4，得AEBE2，AEB的面积S2.因为PC平面AEB.所以三棱锥PABC的体积VSPC.反思与回顾 第三步：本题难度中档，根据条件作出辅助线是解决本题的关键，作辅助线最常见的方法是应用三角形的中垂线的性质定理，通常在中点、端点作辅助线高考经典题组训练1(2012上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则h.所以圆锥的体积Vr2h.答案2(2011福建卷)三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_
