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1、一元微积分的几何综合应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积2、旋转体体积注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示3、曲线的弧长4、旋转体的侧面积（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，则有上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性（3）当积分域关于原点对称时，若，则有（4）若将互换，积分域不变，（关于对称）则（轮换性）2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于面时，令是关于面某一侧的部分，则有上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与
2、函数的奇偶性（2）若将互换，积分域不变， 则（轮换性）3、记忆重积分的算法对， 对，对，特别地，对，为在面的投影则，此为先二后一法对绕轴（）的旋转体区域，为在处的横截面区域，则，此为先一后二法特别地，截面面积为已知的立体体积对由球面与锥面所围成的区域，可利用球坐标法计算：二、一元微积分的几何综合应用典型例题例1、是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（B）（A）连续奇函数（B）连续偶函数（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数例2、如图， 在上有连续的导数，则定积分() （A）曲边梯形ABOD面积 （B）梯形ABOD面积（C）曲边三角形ACD面积 （D）三角形ACD面积例3
3、、设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，则提示：，例4、求曲线的全长.解：，而 .例5、设，求其所示曲线与直线及轴，轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体体积解：例6、求曲线和所围图形的面积及其绕极轴旋转一周的.解：.例7、某曲线以极坐标可表示为，则其在处的切线的直角坐标方程为.则其斜渐近线的直角坐标方程为.（注意仅时，）例8、已知抛物线上任一点处的曲率半径为， 是该抛物线上介于点与之间的弧长，求解：，故有原式例9、求曲线与轴所围成图形的面积.提示：.例10、设是内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，满足。求的表达式.提示：
4、当时，即，得，有当时，得的通解为由在处连续且可导，有故.例11、设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任一点，点为在轴上的投影，为坐标原点. 若梯形的面积与曲边的面积之和为，求的表达式.提示 ： ，当时，得，则 因，由的连续性知.例12、设在 0, 1上连续,在 (0, 1)内大于零,且 (为常数) ,又曲线与所围成的图形S的面积值为2,求,并问为何值时,图形S绕轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小.提示： ，则，由2，有因此，体积为,令 ,得 .又 ,故知当时,体积最小.例13、曲线与直线及围成一曲边梯形. 该图形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的
5、值;()计算极限.提示： () () .例14、设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.提示：由 得由题意知,则有，即解得,由，得，从而.三、重积分计算典型例题例1、计算解： 原式 例2、设区域由曲线围成，则提示：对称奇偶性与二重积分的几何意义例3、设是的第象限的部分，记，则（B）（A） （B） （C） （D）提示：由轮换性知由不等式性质知例4、求二重积分，其中提示：由得，原式注;令,则原式例5、设，计算解：记，： 则例6、设，则 提示：可化为直角坐标形式（注
6、：，）例7、计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域yO 1 x【解】：如图，例8、 设为单调递减的可微函数，且，为其反函数，若曲线与及轴所围区域绕轴旋转一周的体积为，求解：由题意知，则原式例9、连续函数的定义域为，且，其中,求.提示：由二重积分奇偶对称性性质知， 有，得.例10、求.例11、已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算解： 例12、设f (r)在0，1上连续，则证明：，设，则注意到：，于是由夹逼定理可知要证结论成立注：是错误的例13、，其中由锥面与平面（）围成的区域.【解1】原式 .【解2】原式.【解3】原式 .例14、，其中是由球面所围成的闭区域.【解1】因区域具有轮换性，则故
7、原式 .【解2】原式.【解3】原式.例15、计算，由平面以及曲面围成，其中是由曲线绕轴旋转所生成的旋转面.解： 原式.例16、计算，其中解： 例17、求上的连续函数，使提示：令，则四、课后练习（一）一元微积分的几何综合应用1、设在区间上连续，则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为（） 2、设连续，曲线与轴围成三块面积，其中在轴的下方，在轴的上方，若，则（） 3、与轴、轴围成图形的面积为4、求证：由平面图形，绕轴旋转形成的旋转体体积，并利用该题结论，计算与轴所围区域绕轴旋转一周而成的旋转体体积（）5、设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0边到的一段弧与极轴所围成的图形面积为6、
8、求摆线一拱的弧长7、求心形线的全长，其中 （）8、设平面上有及 ，若表示位于直线左下方部分的面积，试求 .（ ）9、点是曲线的一个拐点，、分别是曲线在与处的切线，其交点为，设函数具有三阶连续导数，求（）. 2 0 2 3 4 x10、已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性（凸）；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程（）；（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积（）11、设，求的极值、单调区间和凹凸区间【为极大值；为极小值的单调增区间是；单调减区间是.为凸区间；为凹区间】12、设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域，(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(
9、a) （）;(II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值（）13、设在上连续，若由， 与轴所围图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积，则14、设是正值连续函数，且对任何，曲线在上的一段弧长总是等于由过轴上点且垂直于轴的直线及轴，轴与这段弧围成的曲边梯形面积，求这条曲线的方程（）15、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1) 求曲线的方程（）；(2) 已知曲线在上的弧长为，试用表示的弧长（）16、设非负函数 (x0)，满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积（）17、请
10、设计一条经过原点且介于曲线与轴之间的连续曲线使其与曲线，所围面积等于由曲线，所围的面积，其中为曲线上的任一点（）（二）重积分计算1、改变次序.（）2、计算.3、设为由曲线与所围的区域，则4、若，则5、设为上的连续奇函数，则6、若 ，则 7、设，则8、设为整个平面区域，则9、10、设可导， 为其反函数，证明：11、设满足,则.12、记曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围的立体区域为，求13、设：，则 14、设：，则15、设，计算16、由 面上的区域 绕 轴旋转一周而成的空间区域， 则= 在能力与知识结构方面，要求学生应具有扎实的专业和日语语言基础，熟练掌握日语听、说、读、写、译的基本技能；了解日本社会及日本文化等方面的基本知识，熟悉日本国情，具有一定的日本人文知识及运用这些知识与日本人进行交流的能力。11
