《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课后导练 新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质课后导练 新人教b版选修2-1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课后导练基础达标1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0)，则（ ）A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点答案：C2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则（ ）A.通径长为8，AOB的面积为4 B.通径长为-4，AOB的面积为2C.通径长为4，AOB的面积为4 D.通径长为4，AOB的面积为2答案：D3.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于( )A.217 B.17 C.215 D.15答案
2、：C4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是（ ）A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 答案：B5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为( )A.8 B.16 C.32 D.64答案：B6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是_.答案：-1k17.已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是_.答案：3 8.28.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=43，则焦点到AB的距离为_.9.已知抛物线
3、y2=6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.解法一:设直线上任意一点坐标为(x,y)，弦的两个端点为P1(x1,y1)、P2（x2,y2）.P1、P2在抛物线上，y12=6x1,y22=6x2.两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）.y1+y2=2,代入得k=3.直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.解法二:设所求方程为y-1=k(x-4).由方程组得ky2-6y-24k+6=0.设弦的两端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、（x2,y2），则y1+y2=.12的中点为(4，1),=2.k=3.所求直线方程为y-1=3
4、(x-4)，即3x-y-11=0.10.设抛物线2（0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且轴,证明直线AC经过原点O.证明:抛物线的焦点为F（,0),经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A（x1,y1)，B(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，y1y2=-p2.BCx轴，且点C在准线x=-上，点C的坐标为（-,y2).直线OC的斜率为k=,即k也是直线OA的斜率.直线AC经过原点O.综合运用11.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC
5、x轴.求证：直线AC经过原点O.证明:抛物线的焦点为F（,0),经过点F的直线AB的方程可设为x=my+，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A（x1,y1)、B(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，y1y2=-p2.BCx轴，且点C在准线x=-上，点C的坐标为（-,y2).直线OC的斜率为k=,即k也是直线OA的斜率.直线AC经过原点O.12.(2006上海高考，理20) 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由
6、.解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.设A（x1,y1）,B(x2,y2),y1+y2=2t,y1y2=-6,=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2=-6t2+3t2t+9-6=3.=3,故为真命题.(2)中命题的逆命题是：若=3，则直线l过点（3,0）是假命题.设l:x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0. 设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2b.=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y
7、1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt2t+b2-2b=b2-2b,令b2-2b=3,得b=3或b=-1.此时直线l过点（3，0）或（-1，0）.故逆命题为假命题.拓展探究13.已知椭圆C1:=1,抛物线C2:(y-m)2=2px(p0),且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(1)当ABx轴时,求m,p的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;（2）若p=且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.答案：(1)解：当ABx轴时,点A、B关于x轴对称.所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,-).因为点A在抛物线上,所以
8、=2p,即p=.此时C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.（2）解法一:如右图，当C2的焦点在AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).由消去y得（3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程的两根,x1+x2=.因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,所以|AB|=(2-x1)+(2-x2)=4-(x1+x2),且|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=x1+x2+.从而x1+x2+=4-(x1+x2），所以x1+x2=,即.解得k2=6,即k=.因为C
9、2的焦点F(,m)在直线y=k(x-1)上,所以m=-k,即m=或m=-.当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).解法二:当C2的焦点在AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).由消去y得(kx-k-m)2=x.因为C2的焦点F(,m)在y=k(x-1)上,所以m=k(-1),即m=-k.代入有(kx)2=x,即k2x2-(k2+2)x+=0.设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程的两根,x1+x2=.由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.由于x1、x2也是方程
10、的两根,所以x1+x2=.从而,解得k2=6,即k=.因为C2的焦点F(,m)在直线y=k(x-1)上,所以m=-k,即m=或m=-.当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).解法三:设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2、y2),因为AB既过C1的右焦点F(1,0),又过C2的焦点F(,m),所以|AB|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=(2-x1)+(2-x2),即x1+x2=（4-p)=.由（1）知x1x2,于是直线AB的斜率k=-3m,且直线AB的方程是y=-3m(x-1),所以y1+y2=-3m(x1+x2-2)=.又因为,所以3(x1+x2)+4(y1+y2)=0.将代入得m2=,即m=或m=-.当m=时,直线AB的方程为y=-(x-1);当m=-时,直线AB的方程为y=(x-1).6
