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1、1.3 二项式定理知识梳理1.二项式定理(1)(a+b)n=_(nN*).(2)(a+b)n的展开式中共有_项,其中各项的系数(r=0,1,2, ,n)叫做_.式中的an-rbr叫做二项展开式的_.它是展开式中的第_项.(3)(a-b)n=_;(1+x)n=_.2.“杨辉三角”与二项式系数的性质(1)对称性:在(a+b)n的展开式中,_的两项的二项式系数相等.(2)增减性与最大值:当r时,二项式系数是逐渐_的,由对称性可知它的后半部分是逐渐_的,且在中间取到最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数_取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数_相等,且同时取到最大值.3.各二项式系数的和=
2、_.=_.知识导学 学习二项式定理首先要记住二项式(a+b)n的展开式,应该了解展开式各项的如下两个特征:每一项次数之和为n,a按降幂排列,从n到0次;b按升幂排列,从0次到n次.其次要掌握二项式展开式的应用要理解二项式的展开式的通项. 在二项式定理中,对a、b赋予不同的值,就得不同形式的组合恒等式,在多项展开式中,系数的和也常用赋值法来求.同时要注意逆向思维的培养,掌握二项式定理的逆用.疑难突破1.如何正确区分二项展开式中某一项的二项式系数与系数的概念?剖析:两者是不同的概念. (r=0,1,2, ,n)叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7的二项展开式的第
3、4项的二项式系数为=35.而其第4项的系数为23=280.2.如何用组合的知识理解二项式定理?剖析:由于(a+b)n=,将(a+b)看作是含有红(a)、白(b)两球的盒子,则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中每一个盒子取出一个球的可能结果,而其前面的系数则是这种结果的方法数,如an-rbr是从这n个盒子中取出r个(b)白球、(n-r)个红球的情况,其方法数为,因此有(a+b)n= .3.如何理解赋值法在证明二项式系数的三条性质中的运用?剖析:事实上,二项式定理给出的是一个恒等式,对于a、b的一切值都成立,因此对一些特定的值也成立.对a、b赋予一些特定的值是解决二项式问题的一种重要思想方法.赋值法是从函数的角度来应用二项式定理,即函数f(a,b)=(a+b)n=,对a、b赋于一定的值,就能得到一个等式.2