《高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数(2)学案 苏教版必修1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数(2)学案 苏教版必修1(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时对数函数的图象与性质通过对数函数的图象及其变换,观察发现对数函数的性质,提高识图能力.对数函数ylogax(a1)与指数函数yax(a1)的性质比较函数yaxylogax图象性质定义域R定义域(0,)值域(0,)值域R过定点(0,1)过定点(1,0)当x0时,y1;当x0时,0y1当x1时,y0;当0x1时,y0在R上是增函数在(0,)上是增函数【做一做1】将指数函数f(x)3x的图象沿直线yx翻折后,可得函数_的图象答案:ylog3x【做一做2】将对数函数ylog2x的图象向右平移1个单位长度后可得函数_的图象答案:ylog2(x1)不同底数的图象之间的变化趋势是怎样的?剖析:由于对
2、数函数ylogax的图象与直线y1交于点(a,1)(如图1所示),所以对数函数ylogax的图象在x轴上方,从左到右对应的底数由小到大依次递增;由于对数函数ylogax的图象与直线y1交于点(如图2所示),所以对数函数ylogax的图象在x轴下方,从左到右对应的底数由大到小依次递减 图1 图2题型一 对数函数的图象及变换【例1】作出函数y|log2(x1)|2的图象解:作复合函数的图象问题,可先考虑它的基本函数的图象,然后作适当的变换完成先作ylog2x的图象ylog2(x1)y|log2(x1)|y|log2(x1)|2.如图所示反思:利用函数图象的三大基本变换平移变换、对称变换、伸缩变换是
3、作复合函数图象的基本途径本题使用了平移和对称两种方法,在平移中要注意“上、下”和“左、右”与x,y的关系;对称变换要注意与x轴和y轴的关系题型二 对数函数的性质【例2】已知函数f(x)lg |x|.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)画出函数f(x)的图象的草图;(3)求函数f(x)的单调递减区间分析:(1)确定函数的定义域,判断f(x)和f(x)的关系;(2)函数f(x)的图象关于y轴对称,利用变换作图画出草图;(3)由图象观察出单调递增区间,再用定义证明解:(1)要使函数有意义,x的取值需满足|x|0,解得x0,即函数的定义域是(,0)(0,),f(x)lg |x|lg |x|f(x),
4、所以函数f(x)是偶函数(2)由于函数f(x)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将函数ylg x的图象对称到y轴的左侧与函数ylg x的图象合起来得函数f(x)的图象,如下图所示(3)方法一:由图得函数f(x)的单调递减区间是(,0)证明:设x1,x2(,0),且x1x2,则f(x1)f(x2)lg |x1|lg |x2|lglg ,x1,x2(,0),且x1x2,|x1|x2|0.1.lg0.f(x1)f(x2)函数f(x)在(,0)上是减函数,即函数的单调递减区间是(,0)方法二:函数的定义域是(,0)(0,)设ylg u,u|x|.当函数f(x)是减函数时,由于函数ylg u是增函数,则函
5、数u|x|是减函数又函数u|x|的单调递减区间是(,0),函数f(x)lg|x|的单调递减区间是(,0)反思:根据定义来判断函数的奇偶性和单调性,是解答题的基本方法【例3】已知函数f(x)lg(x)(1)判断函数的奇偶性;(2)判断函数的单调性分析:利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称f(x)lg(x)lg(x)lglg(x)1lg(x)f(x),即f(x)f(x)所以函数f(x)lg(x)是奇函数(2)函数的定义域为R,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)f(x2)lg,下面分段讨论:当x1x20时,则x1x20,xx,所以x1x2,即1,所以
6、f(x1)f(x2)0,此时函数在R上为减函数当0x1x2时,则x2x1,又f(x1)f(x2)lglg0,所以此时函数在R上为减函数当x10x2,且f(0)0时,由可知f(x1)0f(x2)所以函数f(x)lg(x)是定义域R上的减函数反思:研究函数奇偶性和单调性,都首先必须考虑函数的定义域1函数yf(x)的图象如下图所示,则函数的图象大致是_解析:从已知函数的图象可得所求函数过点(1,0),且当x(0,1)时,函数为增函数,当x(1,2)时,函数为减函数答案:2函数yln的大致图象为_解析:因为定义域为(,1)(1,),所以错误又当x(,1)时,函数为增函数,当x(1,)时,函数为减函数,所以错误答案:3已知函数yloga(xb)的图象如图所示,则a_,b_.解析:从图象可知解得答案:34求证:函数在其定义域上是单调减函数证明:由2x10得定义域为x,任取x1,x2,且x1x2,此时.因02x112x21,所以01.所以y1y20,即y1y2.所以原函数在定义域上单调递减5若函数f(x)在R上为增函数,求a的取值范围解:由条件得解得1a3,即a的取值范围是(1,3)5