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1、3.3 幂函数课堂导学三点剖析一、幂函数定义、图象和性质【例1】 比较下列各组数的大小:(1)和;(2)和;(3)和;(4),和.解析:(1)函数y=在(0,+)上为减函数,又3.(2)=-,函数y=在(0,+)上为增函数,又,则,从而,所以=1,0=1,0, 所以g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)1或xg(x);(2)当x=1时,f(x)=g(x);(3)当-1x1且x0时,f(x),. 因此,.(2)函数y=的图象在第一象限内是一条下降曲线,1-43=1. 同样,y=在第一象限内对应一条上升曲线.变式提升 1证明幂函数f(x)=在0,+)上是增函数.证明:任取x1、x20,
2、+且x1x2,则有x1-x20. 因为f(x1)-f(x2)=-=0, 所以f(x1)f(x2),即幂函数f(x)=x在0,+上是增函数.类题演练 2作出函数y=,y=和y=的图象.解析:通过列表、描点、连线得到图象见下图.变式提升 2已知函数y=(nZ)的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y轴对称,求n的值,并画出函数图象.解析:因为图象与y轴无公共点,则n2-2n-30,又图象关于y轴对称,则n2-2n-3为偶数.由n2-2n-30得-1n3,又nZ,n=0,1,2,3. 当n=0时,n2-2n-3=-3不是偶数;当n=1时,n2-2n-3=-4为偶数; 当n=-1时,n2-2n-3=
3、0为偶数;当n=2时,n2-2n-3=-3不是偶数; 当n=3时,n2-2n-3=0为偶数;所以n=-1,1,3. 此时,幂函数解析式为y=x0(x0)或y=x-4.图象如下图.类题演练 3下列函数中,其中幂函数的个数为( )张亮在时间t秒内骑车行走了1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 km/s 李红在做物理实验时,得到关系式h=gt2=4.9t2 一个细胞分裂按以下方式进行,其个数y与时间t的关系为y=2t 马明在做匀速跑的过程中,其距离s与时间t的关系为s=tA.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析:为幂函数,为二次函数;为指数函数.故选C.答案:C变式提升 3已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.解析:(1)若f(x)为正比例函数,则m=1.(2)若f(x)为反比例函数,则m=-1.(3)若f(x)为二次函数,则m=.(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,m=-1.5