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1、1.1 不等式庖丁巧解牛知识巧学一、不等式的基本性质 1.比较实数大小的充要条件对于任意两个实数a,b有且只有下列三种情况之一成立:aba-b0;aba-bbbb,bcaba+cb,c0acbc.ab,c0acb0anbn(nN,n2).(6)开方:ab0(nN,n2).(7)ab,cda+cb+d.(8)ab0,cd0acbd.误区警示 不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.从应用的角度看,单向性主要用于证明不等式;双向性是解不等式的基础,当然也用于证明不等式.在这些性质中,乘(除)法性质的应用最容易出错,所以在利用不等式性质推证不等式时,要紧扣不等式性质成立的条件. 二、基本不等
2、式1.定理1:设a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.定理2:如果a,b为正数,则,当且仅当a=b时等号成立.3.定理3:如果a,b,c为正数,则,当且仅当a=b=c时等号成立.4.一般结论:如果a1,a2,an为n个正数,则,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.学法一得 (1)在利用定理2、定理3这两个平均值不等式求最大(小)值问题时,必须满足三条:一正、二定、三相等.也就是,第一,均为正数;第二,求积的最大值时,应看和是否为定值,求和的最小值时,应看积是否为定值;第三,等号成立时条件是否具备.应用一般结论求最值也要注意上述条件.(2)为了达到使用基本不等式求最值的
3、目的,常常需要对代数式进行通分、分解变形、构造和为定值或积为定值的模型.联想发散 如果在某些特定条件下,一个不等式转化为等式,那么我们称这个不等式是“精确”的.这一类不等式在现代数学中非常重要,它们为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础.典题热题知识点一:不等式的基本性质例1 对于实数a,b,c,有下列命题:若ab,则acbc2,则ab;若ababb2;若cab0,则;若ab,,则a0,bbc2知c0,又c20,ab是真命题.a2ab,abb2,该命题为真命题.ab0-a-bc-aa,c-a0,0c-ab0,.故该命题为真命题.由已知条件知aba-b0,-00,a-b0,b-a0,abb,
4、a0,b0,b0,a+b=1,求证:(a+)(b+).思路分析:本题不能由(a+)2,(b+)2求解.因为此两式当且仅当a=1,b=1时成立,而由a+b=1这显然是不可能的,由要证的结论不易看出解题思路,可先将左边展开,进行“拆”“配”.证明:左=(a+)(b+)=ab+=()2+2.a0,b0,+2,又a0,b0,a+b=1,a+b.,2,-,(-),(-)2,左2+2+=(当且仅当a=b=时取等号).方法归纳 一般的,数学中的定理、公式揭示了若干变量之间的本质联系,但不能定格于特殊形式,因此在解答数学题的过程中,把数值、数式合理地拆成两项或多项,或者恒等地配凑成适当的数或式,是数学表达式数
5、学变形过程中常用的方法,这也是一种解题技巧.知识点三: 用基本不等式求值域例3 求当x0时,f(x)=的值域.思路分析:此题从形式上看,不能使用基本不等式,但通过变形之后,f(x)=在分母上可以使用基本不等式.解:x0,f(x)=.x+2,0.00的限制,仅有xR,那么应如下求解:当x0时,同上;当x0时,x+-2,0,-1f(x)0时,如使用判别式法求解,那么就不仅仅是0的问题了,而且还应该考虑x0的限制条件,是比较复杂的.知识点四: 用基本不等式解决实际问题例4 某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.
6、问这种汽车使用多少年时,它的平均费用最少?思路分析:年平均费用等于总费用除以年数,总费用包括:购车费用、保险费、养路费、汽油费以及维修费用的总和,因此,应先计算总费用,列出函数关系,再计算年平均费用.解:设使用x年时平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.因此,汽车使用x年时总的维修费用为x万元.设汽车的年平均费用为y万元,则有y=3.当且仅当,即x=10时,y取最小值.答:汽车使用10年时平均费用最少.方法归纳 在应用平均值不等式解决实际问题时,要注意以下几点:(1)先理解题意,再设变量,
7、设变量时一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)正确写出答案;(5)在特殊情况下,还要根据条件构造满足不等式所要求的条件的结论.问题探究误区陷阱探究 问题1 若二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,且1f(-1)2,3f(1)4.求f(-2)的取值范围.错解:因为二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,所以设f(x)=ax2+bx(a0).所以f(-1)=a-b,f(1)=a+b.所以由得,4(a+b)+(a-b)6,即2a3.由得,1(a+b)-(a-b)3,即b.又因为f(-2)=4a-2b,所以4
8、2-24a-2b43-2,即5f(-2)11.试通过探究指明错因,并给出正确的结论.探究过程:错的原因在于利用(1)(2)解得b的过程中,利用了同向不等式相减.考虑条件1f(-1)2,3f(1)4,得到的是1a-b2,2a+b4这两个结论,显然a,b两字母是相互联系的整体并不是独立存在着的,如果确定出各自的取值范围a3,0b,那么0a-b3,a+b,即0f(-1)3,f(1).这与条件矛盾了!因此上述解题过程是方法错了.探究结论:分析:f(-1)=a-b,f(1)=a+b,由f(-1)、f(1)可求出a=,b=,进而用f(-1)、f(1)表示出f(-2),从而求出f(-2)的范围,或者运用整体
9、思想,用f(-1)和f(1)去表示f(-2),再求解.正解一:因为二次函数y=f(x)的图象过原点,所以f(x)=ax2+bx(a0),所以所以 因为f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1),1f(-1)2,3f(1)4,所以3+31f(-2)4+32,即6f(-2)10.正解二:因为二次函数y=f(x)的图象过原点,所以f(x)=ax2+bx(a0),所以f(-2)=4a-2b.又因为1f(-1)2,3f(1)4,所以设存在实数m,n使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b),即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b,所以解之得m=1,n=3.所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).
10、又因为3a+b4,33(a-b)6,所以3+34a-2b4+6,即6f(-2)10.方法交流探究 问题2 设ab0,m0,n0,试比较,的大小,你能根据所得结论写出此结论在生活中的模型吗?探究过程:本题实质是利用实数比较大小的依据,通过作差法比较四个分式的大小,进而找出不等式在日常生活的应用,从而体会不等式的应用价值.因为ab0,所以01,01,1,1.又因为-=0,所以.所以. 下面试举不等关系在生活中的一模型:学校打算重新铺设由餐厅通往教学楼的路面,建筑施工规定,铺设路面所用的混凝土中水泥含量和石子含量的比值应不小于0.25,而且在一定范围内这个比值越大,路面的质量越高.试问同时增加相等的水泥和石子的含量,路面的质量是提高了,还是降低了? 设所用混凝土中水泥含量和石子含量分别为a,b,同时增加的含量为n,根据题意可知ab, 0.25,所以.又因为0.25,所以0.25. 所以,同时增加相等的水泥和石子的含量,路面的质量提高了.探究结论:多个数(或代数式)比较大小,可以分组进行比较,以便减少运算量,本题根据已知条件计算出01,01,1,1,然后分别比较与、与的大小即可,有时也可以利用赋值法先比较大小,然后再进行计算证明.数学源于生活又应用于生活,很多的数学公式和原理都可以在生活中找到相应的模型,学习时要注意观察思考.6