《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式教材梳理素材 新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式教材梳理素材 新人教a版选修4-5（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 不等式庖丁巧解牛知识巧学一、不等式的基本性质 1.比较实数大小的充要条件对于任意两个实数a,b有且只有下列三种情况之一成立：aba-b0;aba-bbbb,bcaba+cb,c0acbc.ab,c0acb0anbn(nN,n2).（6）开方：ab0(nN,n2).（7）ab,cda+cb+d.（8）ab0,cd0acbd.误区警示 不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.从应用的角度看，单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础，当然也用于证明不等式.在这些性质中，乘（除）法性质的应用最容易出错，所以在利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不等式性质成立的条件. 二、基本不等
2、式1.定理1：设a,bR，则a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立.2.定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当a=b时等号成立.3.定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当a=b=c时等号成立.4.一般结论：如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1=a2=an时，等号成立.学法一得 （1）在利用定理2、定理3这两个平均值不等式求最大（小）值问题时，必须满足三条：一正、二定、三相等.也就是，第一，均为正数；第二，求积的最大值时，应看和是否为定值，求和的最小值时，应看积是否为定值；第三，等号成立时条件是否具备.应用一般结论求最值也要注意上述条件.（2）为了达到使用基本不等式求最值的
3、目的，常常需要对代数式进行通分、分解变形、构造和为定值或积为定值的模型.联想发散 如果在某些特定条件下，一个不等式转化为等式，那么我们称这个不等式是“精确”的.这一类不等式在现代数学中非常重要，它们为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础.典题热题知识点一：不等式的基本性质例1 对于实数a,b,c，有下列命题：若ab，则acbc2，则ab；若ababb2；若cab0，则；若ab,，则a0,bbc2知c0,又c20,ab是真命题.a2ab,abb2，该命题为真命题.ab0-a-bc-aa,c-a0,0c-ab0，.故该命题为真命题.由已知条件知aba-b0,-00,a-b0,b-a0,abb,
4、a0,b0,b0,a+b=1,求证：(a+)(b+).思路分析：本题不能由(a+)2，(b+)2求解.因为此两式当且仅当a=1,b=1时成立，而由a+b=1这显然是不可能的，由要证的结论不易看出解题思路，可先将左边展开，进行“拆”“配”.证明：左=(a+)(b+)=ab+=()2+2.a0,b0,+2,又a0,b0,a+b=1,a+b.,2,-,(-),(-)2,左2+2+=（当且仅当a=b=时取等号）.方法归纳 一般的，数学中的定理、公式揭示了若干变量之间的本质联系，但不能定格于特殊形式，因此在解答数学题的过程中，把数值、数式合理地拆成两项或多项，或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学表达式数
5、学变形过程中常用的方法，这也是一种解题技巧.知识点三： 用基本不等式求值域例3 求当x0时，f(x)=的值域.思路分析：此题从形式上看，不能使用基本不等式，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.解：x0，f(x)=.x+2,0.00的限制，仅有xR，那么应如下求解：当x0时，同上;当x0时，x+-2,0,-1f(x)0时，如使用判别式法求解，那么就不仅仅是0的问题了，而且还应该考虑x0的限制条件，是比较复杂的.知识点四： 用基本不等式解决实际问题例4 某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.
6、问这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？思路分析：年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费用、保险费、养路费、汽油费以及维修费用的总和，因此，应先计算总费用，列出函数关系，再计算年平均费用.解：设使用x年时平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列.因此，汽车使用x年时总的维修费用为x万元.设汽车的年平均费用为y万元，则有y=3.当且仅当，即x=10时，y取最小值.答：汽车使用10年时平均费用最少.方法归纳 在应用平均值不等式解决实际问题时，要注意以下几点：（1）先理解题意，再设变量，
7、设变量时一般把要求最值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题;（3）在定义域内，求出函数的最值；（4）正确写出答案；（5）在特殊情况下，还要根据条件构造满足不等式所要求的条件的结论.问题探究误区陷阱探究 问题1 若二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，且1f(-1)2,3f(1)4.求f(-2)的取值范围.错解：因为二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，所以设f(x)=ax2+bx(a0).所以f(-1)=a-b,f(1)=a+b.所以由得，4(a+b)+(a-b)6，即2a3.由得,1(a+b)-(a-b)3,即b.又因为f(-2)=4a-2b，所以4
8、2-24a-2b43-2，即5f(-2)11.试通过探究指明错因，并给出正确的结论.探究过程:错的原因在于利用（1）（2）解得b的过程中，利用了同向不等式相减.考虑条件1f(-1)2,3f(1)4，得到的是1a-b2,2a+b4这两个结论，显然a，b两字母是相互联系的整体并不是独立存在着的，如果确定出各自的取值范围a3,0b，那么0a-b3，a+b,即0f(-1)3,f(1).这与条件矛盾了！因此上述解题过程是方法错了.探究结论:分析：f(-1)=a-b，f(1)=a+b，由f(-1)、f(1)可求出a=，b=,进而用f(-1)、f(1)表示出f(-2)，从而求出f(-2)的范围，或者运用整体
9、思想，用f(-1)和f(1)去表示f(-2)，再求解.正解一：因为二次函数y=f(x)的图象过原点，所以f(x)=ax2+bx(a0)，所以所以 因为f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1),1f(-1)2，3f(1)4,所以3+31f(-2)4+32，即6f(-2)10.正解二：因为二次函数y=f(x)的图象过原点，所以f(x)=ax2+bx(a0)，所以f(-2)=4a-2b.又因为1f(-1)2，3f(1)4,所以设存在实数m，n使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b)，即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b，所以解之得m=1,n=3.所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).
10、又因为3a+b4，33(a-b)6,所以3+34a-2b4+6，即6f(-2)10.方法交流探究 问题2 设ab0,m0,n0，试比较,的大小，你能根据所得结论写出此结论在生活中的模型吗？探究过程:本题实质是利用实数比较大小的依据，通过作差法比较四个分式的大小，进而找出不等式在日常生活的应用，从而体会不等式的应用价值.因为ab0，所以01，01，1,1.又因为-=0，所以.所以. 下面试举不等关系在生活中的一模型：学校打算重新铺设由餐厅通往教学楼的路面，建筑施工规定，铺设路面所用的混凝土中水泥含量和石子含量的比值应不小于0.25，而且在一定范围内这个比值越大，路面的质量越高.试问同时增加相等的水泥和石子的含量，路面的质量是提高了，还是降低了？ 设所用混凝土中水泥含量和石子含量分别为a,b，同时增加的含量为n，根据题意可知ab, 0.25,所以.又因为0.25,所以0.25. 所以，同时增加相等的水泥和石子的含量，路面的质量提高了.探究结论:多个数（或代数式）比较大小，可以分组进行比较，以便减少运算量，本题根据已知条件计算出01，01，1，1，然后分别比较与、与的大小即可，有时也可以利用赋值法先比较大小，然后再进行计算证明.数学源于生活又应用于生活，很多的数学公式和原理都可以在生活中找到相应的模型，学习时要注意观察思考.6
