《2005全国高中数学联赛试题及答案[1].doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2005全国高中数学联赛试题及答案[1].doc(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2005年高中数学联赛试卷(一)一、选择题1. 使关于x的不等式有解的实数k的最大值是( )A. B. C. D. 2. 空间四点A、B、C、D,满足、,则的取值( )A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个3. ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点,则的值是( )A. 2B. 4C. 6D. 84. 如图,ABCDABCD为正方体,任作平面与对角线AC垂直,使与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则( )A. S是定值,l不是定值B. S不是定值,l是定值C. S、l均是定值D. S、l均不是定值5. 方程
2、表示的曲线是( )A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线6. 记集合,将M中的元素按从大到小顺序排列,则第2005个数是( )A. B. C. D. 二、填空题7. 将多项式表示为关于y的多项式 ,且,则=_。8. f(x)是定义在(0,+)上的减函数,若成立,则实数a的取值范围是_。9. 设、满足,若对任意,成立,则=_。10. 如图,四面体DABC的体积为,ACB=45,则CD=_。11. 正方形ABCD的一条边在直线上,另外两顶点在上,则正方形面积的最小值为_。12. 若自然数a的各位数字之和为7,则称a是“吉祥数”。将所有“
3、吉祥数”从小到大排成一列:a1、a2、a3,若an=2005,则a5n=_。三、解答题13. 数列an满足a0=1,证明:(1)对于任意,a为整数;(2)对于任意,为完全平方数。14. 将编号为1、2、3、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球,设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S,求值S达到最小值的方法的概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法)。15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D,交y轴于B,C在抛物线上,E在线段AC上,F在线段BC上,且1+2=1,线段CD与EF交于P,当C在抛物线上移动时,求
4、P的轨迹方程。2005年全国高中数学联赛试卷(二)一、(本题满分50分)如图,在ABC中,设ABAC,过A作ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于D;交直线l于E、F。二、(本题满分50分)设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.三、(本题满分50分)对每个正整数n,定义函数(其中x表示不超过x的最大整数, 试求:的值.2005年全国高中数学联赛试卷(一)参考答案及评分标准说明:1 评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。2 如果考生的
5、解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。1使关于的不等式有解的实数的最大值是( )A B C D解:令则的最大值为。选D。2空间四点A、B、C、D满足则的取值( )A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个解:注意到由于则=即只有一个值得0,故选A。3内接于单位
6、圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、。则的值为( )A2 B4 C6 D8解:如图,连,则4如图,为正方体。任作平面与对角线垂直,使得与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为.则( )AS为定值,不为定值 BS不为定值,为定值CS与均为定值 DS与均不为定值解:将正方体切去两个正三棱锥后,得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱剪开,展平在一张平面上,得到一个,而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段(如图中),显然,故为定值。当位于中点时,多边形W
7、为正六边形,而当移至处时,W为正三角形,易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与,故S不为定值。选B。5.方程表示的曲线是()A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的双曲线C焦点在轴上的椭圆D焦点在轴上的双曲线解:即又方程表示的曲线是椭圆。即曲线表示焦点在轴上的椭圆,选C。6.记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005个数是()ABCD解:用表示k位p进制数,将集合M中的每个数乘以,得中的最大数为。在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以,便得M中的数故选C。二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答
8、案写在横线上。7.将关于的多项式表为关于的多项式其中则.解:由题设知,和式中的各项构成首项为1,公比为的等比数列,由等比数列的求和公式,得:令得取有8.已知是定义在上的减函数,若成立,则的取值范围是解:在上定义,又仅当或时,在上是减函数,结合()知或9.设、满足,若对于任意则解:设由,知,即又只有另一方面,当有记,由于三点构成单位圆上正三角形的三个顶点.其中心位于原点,显然有即10.如图,四面体DABC的体积为,且满足则.解:即又等号当且仅当时成立,这时面ABC,.11.若正方形ABCD的一条边在直线上,另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为80.解:设正方形的边AB在直线上,而位于
9、抛物线上的两个顶点坐标为、,则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立,得令正方形边长为则在上任取一点(6,,5),它到直线的距离为.、联立解得或12.如果自然数的各位数字之和等于7,那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则5200.解:方程的非负整数解的个数为.而使的整数解个数为.现取,可知,位“吉祥数”的个数为2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”,且对于四位“吉祥数”,其个数为满足的非负整数解个数,即个。2005是第1+7+28+28+165个“吉祥数”,即从而又而从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是:70000,61000,60100,60010,60001,5
10、2000.第325个“吉祥数”是52000,即三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13.数列满足:证明:(1)对任意为正整数;(2)对任意为完全平方数。证明:(1)由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知,对任意为正整数.10分(2)将两边配方,得由0(mod3)为正整数式成立.是完全平方数.20分14.将编号为1,2,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法)解:九个编号不同的小球
11、放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列,故共有8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有种. 5分下求使S达到最小值的放法数:在圆周上,从1到9有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设是依次排列于这段弧上的小球号码,则上式取等号当且仅当,即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此.10分由上知,当每个弧段上的球号确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定.在1,2,9中,除1与9外,剩下7个球号2,3,8,将它们分为两个子集,元素较少的一个子集共有种情况,每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法,即有利事件总数是种,故所求概率20分15.过抛
12、物线上的一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交轴于D,交轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足;点F在线段BC上,满足,且,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.解一:过抛物线上点A的切线斜率为:切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点. 5分设、,则由知,得EF所在直线方程为:化简得10分当时,直线CD的方程为:联立、解得,消去,得P点轨迹方程为:15分当时,EF方程为:方程为:,联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合,所求轨迹方程为20分解二:由解一知,AB的方程为故D是AB的中点. 5分令则因为CD为的中线,而是的重心. 10分设因点C异于A,则故重
13、心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为20分2005年全国高中数学联赛试题(二)参考答案一、(本题满分50分)如图,在ABC中,设ABAC,过A作ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于D;交直线l于E、F。证明:直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。(注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心。)证明:(1)先证DE过ABC的内心。如图,连DE、DC,作BAC的平分线分别交DC于G、DE于I,连IC,则由AD=AC,得,AGDC,ID=IC.又D、C、E在A上,IAC=DAC=IEC,A、I、C、E四点共圆,CIE=CAE=ABC,而CIE=2ICD,ICD=ABC.AIC=IGC+ICG=90+A