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1、2004年高考试题全国卷理科数学(必修选修)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)已知集合Mx|x24,Nx|x22x30,则集合MN(A)x|x2 (B)x|x3(C)x|1x2 (D)x|2x3(2)(A) (B)1(C) (D)(3)设复数i,则1(A) (B)2(C) (D)(4)已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称,则圆C的方程为(A)(x1)2y21(B)x2y21(C)x2(y1)21 (D)x2(y1)21(5)已知函数ytan(2x)的图象过点(,0),则可以是(A)(B)(C) (D)(6)函数
2、yex的图象(A)与yex的图象关于y轴对称(B)与yex的图象关于坐标原点对称(C)与yex的图象关于y轴对称(D)与yex的图象关于坐标原点对称(7)已知球O的半径为1,A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为,则球心O到平面ABC的距离为(A)(B) (C) (D)(8)在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有(A)1条 (B)2条(C)3条(D)4条(9)已知平面上直线的方向向量,点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1,则,其中(A)(B)(C)2(D)2(10)函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数(A)(,)(
3、B)(,2) (C)(,) (D)(2,3)(11)函数ysin4xcos2x的最小正周期为(A)(B)(C)(D)2(12)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有(A)56个(B)57个(C)58个(D)60个二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上(13)从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有个红球,则随机变量的概率分布为012P(14)设x,y满足约束条件则z3x2y的最大值是 (15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 (1
4、6)下面是关于四棱柱的四个命题:若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱,其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)三、 解答题:本大题共6个小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17) (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中,sin(AB),sin(AB)()求证:tanA2tanB;()设AB3,求AB边上的高(18)(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队,以抽签方式将这8个球队分为A、B两组,每组4个求
5、()A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率;()A组中至少有两个弱队的概率(19)(本小题满分12分)数列an的前n项和记为Sn,已知a11,an1Sn(n1,2,3,)证明:()数列是等比数列;()Sn14an(20)(本小题满分12分) 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB90o,AC1,CB,侧棱AA11,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M()求证:CD平面BDM;()求面B1BD与面CBD所成二面角的大小(21)(本小题满分12分) 给定抛物线C:y24x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点()设l的斜率为1,求与夹角的大小;()设,若4,9,
6、求l在y轴上截距的变化范围(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0ab,证明:0g(a)g(b)2g()(ba)ln22004年高考试题全国卷2 理科数学(必修选修)答案:一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分(1)C (2)A (3)C (4)C (5)A (6)D (7)B (8)B (9)D (10)B (11)B (12)C 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分(13)0.1,0.6,0.3 (14)5 (15)x2y21 (16)17(I)证明:sin(A+B)=,sin(A-B)=,
7、.(II)解:A+B, , , 即,将代入上式并整理得解得,因为B为锐角,所以, =2+设AB上的高为CD,则AB=AD+DB=,由AB=3得CD=2+故AB边上的高为2+18(I) 解:有一组恰有两支弱队的概率(II)解:A组中至少有两支弱队的概率19(I)证: 由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,),知a2=S1=3a1, ,又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3,),nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3,).故数列是首项为1,公比为2的等比数列(II)解:由(I)知,于是Sn+1=4(n+1)=4an(n)又a2=3S1
8、=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n1都有Sn+1=4an. 20解法一:(I)如图,连结CA1、AC1、CM,则CA1=,CB=CA1=,CBA1为等腰三角形,又知D为其底边A1B的中点,CDA1B,A1C1=1,C1B1=,A1B1=,又BB1=1,A1B=2,A1CB为直角三角形,D为A1B的中点,CD=A1B=1,CD=CC1又DM=AC1=,DM=C1M,CDNCC1M,CDM=CC1M=90,即CDDM,因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD平面BDM(II)设F、G分别为BC、BD的中点,连结B1G、FG、B1F,则FGCD,FG=CDFG=,
9、FGBD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1,所以BB1D是边长为1的正三角形,于是B1GBD,B1G=,B1GF是所求二面角的平面角又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.cosB1GF=即所求二面角的大小为-arccos解法二:如图以C为原点建立坐标系(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,),M(,1,0),(,),(,-1,-1),(0,-), CDA1B,CDDM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD平面BDM(II):设BD中点为G,连结B1G,则G(-,),BDB1G,又CDBD,与的夹角等于所求二
10、面角的平面角,cos所以所求二面角的大小为-arccos21解:(I)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=6,x1x2=1,=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.cos=所以与夹角的大小为-arccos.解:(II)由题设知得:(x2-1,y2)=(1-x1,-y1),即由 (2)得y22=2y12, y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1(3)联立(1)(3)解得x2=.依题意有0.B(,2
11、)或B(,-2),又F(1,0),得直线l的方程为(-1)y=2(x-1)或(-1)y=-2(x-1)当4,9时,l在y轴上的截距为或-由=,可知在4,9上是递减的,-直线l在y轴上截距的变化范围是22(I)解:函数f(x)的定义域是(-1,),(x)=.令(x)=0,解得x=0,当-1x0,当x0时,(x)0,又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值是0(II)证法一:g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.由(I)的结论知ln(1+x)-x-1,且x0),由题设0a-.又 aa综上0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.(II)证法二:g(x)=xlnx,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(),则当0xa时因此F(x)在(a,+)上为增函数从而,当x=a时,F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即00时,因此G(x)在(0,+)上为减函数,因为G(a)=0,ba,所以G(b)0.即g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.观察,旨在自然条件下,人们为一定目的而对事物所进行的有计划的知觉过程。观察法就是以感官活动为先决条件,与积极的思维相结合,系统地运用感官对客观事物进行感知、考察和描述的一种研究方法。高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识!