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1、2.3 幂函数互动课堂疏导引导一、幂函数的定义一般地,函数y=x叫做幂函数,其中,x是自变量,是常数.疑难疏引1.我们只讨论为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x 2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=x的函数”这句话的重要作用.2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:(1)当指数n是正整数时,定义域是R.(2)当指
2、数n是正分数时,设n= (p、q是互质的正整数,q1),则x n=x=.如果q是奇数,定义域是R;如果q是偶数,定义域是0,+).(3)当指数n是负整数时,设n=-k, x n=,显然x不能为零,所以定义域是x|xR且x0.(4)当指数n是负分数时,设n=-(p、q是互质的正整数,q1),则x n= =.如果q是奇数,定义域是x|xR,且x0;如果q是偶数,定义域是(0,+).3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数y=a x中,指数是自变量,而幂函数y=x中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.二、幂函数的
3、图象和性质如图所示,幂函数有如下性质:1.所有幂函数在(0,+)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);2.如果a0,则幂函数的图象通过原点并且在区间0,+)上是增函数;3.如果a0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x -2、y=x -3及y=x-的图象研究归纳y=xn(n0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n0,0n1三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n0(n1)时图象是抛物线型;n1时图象是竖直抛物线型;0
4、n0)单调递减且3.14.(2)由于y=x-这个幂函数是奇函数,f(-x)=-f(x).因此,(- ) -=-() -,(-) -=-() -.而y=x-(x0)单调递减,且() -() -() -,即(-) -0.【答案】 y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3是幂函数,m 2-5m+6=1,得m=.又函数图象过(0,0)和(1,1)点,m 2-2m-30,则有(m-1) 24,得m3或m0.另外要注意到要表达成集合的形式.【答案】 x| x0,x| x0.4下列4个幂函数,在(-,0)上不是增函数的是()A.y=xB.y=x3C.y=x-D.y=x-【思路解析】 根据幂函数的性质知,函
5、数y=x在R上是单调递增的,在(-,0)上也是增函数;函数y=x3在R上是单调递增的,在(-,0)上也是增函数;函数y=x-在(-,0)上是单调递增的,在R +上是单调递减的;函数y=x-的定义域是R +,在(-,0)上没有定义,函数y=x-在(-,0)上不是增函数.综上所述,选D.【答案】 D5 函数y=(3x-2)+(2-3x)-的定义域为.【思路解析】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围,本题中有两个限制条件,(3x-2)的底数非负,(2-3x)-的底数非零.依题意得x.【答案】 (,+)6. 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a、b、c的大小关系为()A
6、.cbaB.abcC.bcaD.cab【思路解析】 幂函数在第一象限内为增函数时,指数为正,为减函数时,指数为负,a、b为正,cb.综上,abc.因此,选A.【答案】 A7. 已知幂函数y=x n1,y=x n2,y=x n3,y=x n4在第一象限内的图象分别是C 1、C 2、C 3、C 4(如图),则n 1、n 2、n 3、n 4、0、1的大小关系是.【思路解析】 结合幂函数在第一象限的图象来判断.【答案】 n 1n 20n 31n 48. 若(a+1)-(3-2a) -,则a的取值范围是_.【思路解析】 因为函数y=x在0,+)上单调递增,所以y=x-在(0,+)上单调递减.所以解得a.【答案】 (,)9. 某公司产值最初为m万元,以后连续三年持续增长,这三年的增长率分别为a、b、c,求这三年的平均增长率.【思路解析】 第一年的产值为m(1+a),第二年的产值为m(1+a)(1+b),第三年的产值为m(1+a)(1+b)(1+c),如果设平均增长率为x,则第三年的产值也为m(1+x)3.【解】 设这三年的平均增长率为x,依题意得m(1+x)3=m(1+a)(1+b)(1+c).解得x=-1.答:这三年的平均增长率为x=-1.5
