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1、4.1 数学归纳法自主广场我夯基我达标1.(经典回放)设f(n)=(nN+),那么f(n+1)-f(n)等于（ ）A. B.C.+ D.-思路解析：因为f(n)=+,所以f(n+1)=.所以f(n+1)-f(n)=答案：D2.(经典回放)设f(n)=1+(nN+),则f(n+1)-f(n)等于（ ）A. B.C. D.思路解析：因为f(n)=1+.所以f(n+1)=1+.所以f(n+1)-f(n)=.答案：D3.用数学归纳法证明：（n+1）(n+2)（n+n）=2n13(2n-1)时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是（ ）A.2k+1 B.C.2(2k+1) D.思路解析：当n=k+1时，
2、左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)2(2k+1).答案：C4.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=(a1,nN+)”在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3思路解析：观察等式左边，当n=1时，最末项为a2,故1+a+a2是正确的.答案：C5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应该写成（ ）A.假设当n=k(kN+)时，xk+yk能被x+y整除B.假设当n=2k(kN+)时，xk+y
3、k能被x+y整除C.假设当n=2k+1(kN+)时，xk+yk能被x+y整除D.假设当n=2k-1(kN+)时，xk+yk能被x+y整除思路解析：第k个奇数应是n=2k-1，所以第k+1个奇数应是n=2k+1，且n=1时，命题成立.答案：D6.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）A.n=1成立 B.n=2成立C.n=3成立 D.n=4成立思路解析：多边形至少是3边.答案：C7.如果命题P（n）对n=k时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（ ）A.P（n）对所有正整数n成立B.P（n）对所有正偶数n成立C.P（n）对所有正奇数n成立D.
4、P（n）对所有大于1的正整数n成立思路解析：由n=2成立，推出n=4成立，再推出n=6成立.答案：B8.等式12+22+32+n2=(5n2-7n+4)( )A.n为任何正整数时都成立B.仅当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立，n=5时不成立D.仅当n=4时不成立思路解析：分别用n=1，2，3，4，5验证即可.答案：B9.某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：（1）当n=1时，S1=a1显然成立.（2）假设n=k时，公式成立，即Sk=ka1+，当n=k+1时，Sk+1=a1+a2+ak+ak+1=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(k-1)d+a1+kd=(k+1)a1+(
5、d+2d+kd)=(k+1)a1+d=(k+1)a1+d.n=k+1时公式成立.由（1）（2）可知对nN+,公式成立.以上证明错误的是（ ）A.当n取第一个值1时，证明不对B.归纳假设写法不对C.从n=k到n=k+1的推理中未用归纳假设D.从n=k到n=k+1的推理有错误思路解析：在第（2）步证明中，归纳假设未用到.答案：C我综合我发展10.某个命题与正整数有关，若当n=k(kN+)时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）A.当n=6时，该命题不成立B.当n=6时，该命题成立C.当n=4时，该命题成立D.当n=4时，该命题不成立思路解析
6、：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n=k+1时命题不成立，则n=k时命题不成立，所以n=4时命题不成立.答案：D11.上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是（ ）A.f(n)=nB.f(n)=f(n)+f(n-2)C.f(n)=f(n)f(n-2)D.f(n)=n(n=1,2)，f(n-1)+f(n-2)(n3).思路解析：分别取n=1,2,3，4验证.答案：D12.用数学归纳法证明：32n+2-8n-9(nN+)能被64整除.思路解析：(1)当n=1时，34-81-9=64,能被64整除，命题成立.(2)假设当n=k时，命
7、题成立，即32k+2-8k-9能被64整除.则当n=k+1时,32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64k+64.因为32k+2-8k-9能被64整除，所以32(k+1)+2-8(k+1)-9能被64整除.即当n=k+1时，命题也成立.由（1）（2）可知，对任何nN+,命题都成立.13.用数学归纳法证明：tantan2+tan2tan3+tan(n-1)tann=-n(n2,nN+).思路解析：(1)当n=2时，左边=tan，右边=,等式成立.(2)假设当n=k时（k2,kN +）等式成立，即tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank=-k,则当n=
8、k+1时，tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank+tanktan(k+1)=-k+tanktan(k+1).(*)因tan=tan(k+1)-k=,得tanktan(k+1)=.代入（*）式，得右边=-(k+1),即tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank+tanktan(k+1)=-(k+1).这就是说，当n=k+1时等式成立.根据（1）（2）可知，对任意n2,nN +,等式成立.14.用数学归纳法证明，若f(n)=1+,则n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)(n2,且nN+).思路解析：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3,右边
9、=2f(2)=2(1+)=3,左边=右边，等式成立.（2）假设n=k时等式成立，即k+f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k).由已知条件可得f(k+1)=f(k)+,右边=(k+1)f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）.当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=k+f(1)+f(2)+f(k-1)+1+f(k)(凑成归纳假设)=kf(k)+1+f(k)(利用假设)=（k+1）f(k)+1=(k+1)f(k+1)-+1=(k+1)f(k+1)=右边.当n=k+1时，等式也成立.由（1）（2）可知，对一切n2的正整数等式都成立.15. n2（n4,
10、且nN+)个正数排成一个n列的数阵： 第1列 第2列 第3列 第n列第1行 a11 a12 a13 a1n第2行 a21 a22 a23 a2n第3行 a31 a32 a33 a3n 第n行 an1 an2 an3 ann 其中aik(1in,1kn，且i,kN+)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a23=8,a34=20.(1)求a11和aik;(2)设An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+an1,证明：当n为3的倍数时，(An+n)能被21整除.(1)解：设第一行公差为d,则aik=a11+(k-1)d2i-1.a2
11、3=8,a34=20.解得a11=2,d=1.a11=2,aik=(k+1)2i-1(1in,1kn，且n4,i,k,nN +).(2)证明：An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+an1=(n+1)+n2+(n-1)22+22n-1,2An=(n+1)2+n22+(n-1)23+32n-1+22n,-,得An=2+22+23+2n-1+22n-(n+1)=2n-2+22n-(n+1)=3(2n-1)-n.An+n=3(2n-1).下面用数学归纳法证明：当n为3的倍数时，（An+n）能被21整除.设n=3m(mN +,且m2),则A3m+3m=3(23m-1).（1）当m=2时，A6+6=3(26-1)=219,能被21整除.当m=2时，结论成立.（2）假设当m=k(k2)时，结论成立.即A3k+3k=3(23k-1)能被21整除.当m=k+1时,A3(k+1)+3(k+1)=3(23(k+1)-1)=3(23k8-1)=3(23k+723k-1)=3(23k-1)+2123k能被21整除.当m=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知，当n为3的倍数时，An+n,能被21整除.5
