《高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课堂探究学案 新人教b版必修5》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课堂探究学案 新人教b版必修5(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.1 正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数剖析:(1)代数法在ABC中,已知a,b,A,由正弦定理可得sin Bsin Am当sin B1时,这样的B不存在,即三角形无解当sin B1时,B90,若A90,则三角形有一解,否则无解当sin B180时,三角形无解;当A180,且A180时,有两解;当A180时有一解(2)几何法根据条件中A的大小,分为锐角、直角、钝角三种情况,通过几何作图,得出解的情况作出已知A,以A为圆心,边长b为半径画弧交A的一边于C使未知的边AB水平,顶点C在边AB上方,以点C为圆心,边长a为半径作圆,该圆与射线AB交点的个数,即为解的个数,如下表所示:A为锐角A
2、为钝角或直角图形关系式absin Aabbsin Aababab解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中,设k请研究常数k与ABC外接圆的半径R的关系(提示:先考察直角三角形)剖析:(1)如图1,当ABC为直角三角形时,直接得到2R(a,b,c分别为ABC中角A,B,C的对边,R为外接圆半径)(2)如图2,当ABC为锐角三角形时,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD因为AD,所以2R,同理2R,即2R(3)如图3,当ABC为钝角三角形且A为钝角时,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD,A180D,所以2R由(2)知2R,即2R综上所述,对于任意ABC,2R恒成立归纳总
3、结:根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式:(1)asin Bbsin A;asin Ccsin A;bsin Ccsin B(2)a;sin B(3)2R(R为ABC外接圆的半径)(4)abcsin Asin Bsin C(5)边化角公式:a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C(6)角化边公式:sin A,sin B,sin C题型一解三角形【例1】 已知在ABC中,c10,A45,C30,求a,b和B分析:正弦定理中有三个等式,每个等式都含有四个未知量,可知三求一当知道两个角时,即可知道第三个角,所以若再知道三边中任意一边,就可解这个三角形解:,A45,C30,a10,B18
4、0(AC)180(4530)105又,b20sin 75205()反思:本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边,求另两边和一角)的方法步骤,即先由正弦定理求得已知角的对边,然后利用内角和公式求得第三角,再用正弦定理求第三边【例2】 在ABC中,已知a,b,B45,求A,C和c分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解,但应注意解的个数解:由正弦定理,知sin Aasin BbAC,得满足sin C的角C有两个正解:由正弦定理,得sin C因为ABAC,所以C60或120当C60时,A90,SABCABACsin A2;当C120时,A30,SABCABACsin A所以ABC的面积为2或【例6】 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c,C30,求ab的最大值错解:因为C30,所以AB150,即B150A由正弦定理,得又因为sin A1,sin(150A)1,所以ab2()2()4()故ab的最大值为4()错因分析:上述解法错误的原因是未弄清A与150A之间的关系,这里A与150A是相互制约的,不是相互独立的量,sin A与sin(150A)不能同时取最大值1,因此所得的结果是错误的正解:因为C30,所以AB150由正弦定理,得因此,ab2()sin Asin(150A)(84)cos(A75)84故ab的最大值为846