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1、1.1.1 正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数剖析：(1)代数法在ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得sin Bsin Am当sin B1时，这样的B不存在，即三角形无解当sin B1时，B90，若A90，则三角形有一解，否则无解当sin B180时，三角形无解；当A180，且A180时，有两解；当A180时有一解(2)几何法根据条件中A的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况作出已知A，以A为圆心，边长b为半径画弧交A的一边于C使未知的边AB水平，顶点C在边AB上方，以点C为圆心，边长a为半径作圆，该圆与射线AB交点的个数，即为解的个数，如下表所示：A为锐角A
2、为钝角或直角图形关系式absin Aabbsin Aababab解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中，设k请研究常数k与ABC外接圆的半径R的关系(提示：先考察直角三角形)剖析：(1)如图1，当ABC为直角三角形时，直接得到2R(a，b，c分别为ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆半径)(2)如图2，当ABC为锐角三角形时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD因为AD，所以2R，同理2R，即2R(3)如图3，当ABC为钝角三角形且A为钝角时，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，A180D，所以2R由(2)知2R，即2R综上所述，对于任意ABC，2R恒成立归纳总
3、结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式：(1)asin Bbsin A；asin Ccsin A；bsin Ccsin B(2)a；sin B(3)2R(R为ABC外接圆的半径)(4)abcsin Asin Bsin C(5)边化角公式：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(6)角化边公式：sin A，sin B，sin C题型一解三角形【例1】 已知在ABC中，c10，A45，C30，求a，b和B分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一当知道两个角时，即可知道第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形解：，A45，C30，a10，B18
4、0(AC)180(4530)105又，b20sin 75205()反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边【例2】 在ABC中，已知a，b，B45，求A，C和c分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数解：由正弦定理，知sin Aasin BbAC，得满足sin C的角C有两个正解：由正弦定理，得sin C因为ABAC，所以C60或120当C60时，A90，SABCABACsin A2；当C120时，A30，SABCABACsin A所以ABC的面积为2或【例6】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c，C30，求ab的最大值错解：因为C30，所以AB150，即B150A由正弦定理，得又因为sin A1，sin(150A)1，所以ab2()2()4()故ab的最大值为4()错因分析：上述解法错误的原因是未弄清A与150A之间的关系，这里A与150A是相互制约的，不是相互独立的量，sin A与sin(150A)不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的正解：因为C30，所以AB150由正弦定理，得因此，ab2()sin Asin(150A)(84)cos(A75)84故ab的最大值为846
