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1、第三章 数系的扩充与复数的引入章末质量评估检测时间:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数zii2i3i4的值是()A1B0C1Di解析:zii2i3i4i1i10.答案:B2i是虚数单位,复数在复平面上的对应点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析:i,对应点为,位于第四象限答案:D3i是虚数单位,则的虚部是()A.i Bi C. D解析:i,故选C.答案:C4已知i为虚数单位,则复数i(1i)的模等于()A. B. C. D2解析:|i(1i)|1i|.答案:C5复数2的共轭复数是
2、()A34i B34iC34i D34i解析:234i,所以2的共轭复数为34i.答案:A6已知下列命题:复数abi不是实数;若(x24)(x23x2)i是纯虚数,则实数x2;若复数zabi,则当且仅当b0时,z为虚数其中正确的命题有()A0个 B1个 C2个 D3个解析:根据复数的有关概念判断命题的真假:是假命题,因为当aR且b0时,abi是实数;是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x2,当x2时,对应的复数为实数;是假命题,因为没强调a,bR.答案:A7如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,则b等于()A. B. C D2解析:i,据题意有,解得b.答案:C8设复数z
3、11i,z2i,其中i为虚数单位,则的虚部为()A.i B.C.i D.解析:i,虚部为.答案:D9已知复数z满足(12i3)z12i,则z等于()Ai B.iCi D.i解析:zi.答案:A10已知i为虚数单位,a为实数,复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M,则“a1”是“点M在第四象限”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:z(a2i)(1i)(a2)(a2)i,则点M的坐标为(a2,a2),当a1时,坐标为(3,1),即点M在第四象限,若点M在第四象限,而a1却不一定成立,故“a1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件答案:A11若复
4、数z满足(34i)z|43i|,则z的虚部为()A4 B C4 D.解析:设zabi(a,bR),则(34i)z(34i)(abi)5,化简得3a4b(3b4a)i5,所以解得即zi,所以z的虚部为.答案:D12若zcosisin(i为虚数单位),则使z21的一个值是()A0 B. C D2解析:因为z2(cosisin)2cos2isin2,又z21,所以再由选择项验证得.答案:B二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13已知复数z1i,则z_.解析:z1i1i2i.答案:2i14若复数z12i(i为虚数单位),则zz_.解析:因为z12i,所以z|z|25,所以zz62i.答案:
5、62i15i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z123i,则z2_.解析:根据复数的几何意义,z123i与z223i对应的点关于原点对称答案:23i16设z2z1i(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是1,则z2的虚部为_解析:设z1abi(a,bR),则z2(abi)i(abi)(abi)(bai)(ab)(ba)i,因为z2的实部是1,所以ab1,所以虚部ba1.答案:1三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3i,向量对应的复数是24i,向量对应的复数是
6、4i,求B点对应的复数解析:因为向量对应的复数是24i,向量对应的复数是4i,所以表示的复数是(4i)(24i)23i,故对应的复数为(3i)(23i)52i,所以B点对应的复数为52i.18(本小题满分12分)已知虚数z满足|z|1,z22z0,求z.解析:设zxyi(x,yR且y0),所以x2y21,则z22z(xyi)22(xyi)(x2y23x)y(2x1)i.因为z22z0且y0,所以又x2y21,解得故zi.19(本小题满分12分)设复数z1i,且1i,求实数a,b的值解析:因为z1i,所以z2azb(a2)iab,z2z1i,所以(a2)(ab)i.又1i,所以解得20(本小题满
7、分12分)已知复数z(2xa)(2xa)i,x,aR,且a为常数,试求|z|的最小值g(a)的表达式解析:|z|2(2xa)2(2xa)222x22x2a(2x2x)2a2,令t2x2x,则t2,且22x22xt22,从而|z|2t22at2a22(ta)2a22.当a2,即a2时,g(a);当a2,即a2时,g(a)|a1|.综上可知,g(a)21(本小题满分12分)设复数z1(a24sin2)(12cos)i,aR,(0,),z2在复平面内对应的点在第一象限,且z34i,(1)求z2及|z2|.(2)若z1z2,求与a的值解析:(1)设z2mni(m,nR),则z(mni)2m2n22mn
8、i34i,即解得或所以z212i,或z212i.又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,所以z212i应舍去,故z212i,|z2|.(2)由(1)知(a24sin2)(12cos)i12i,即解得cos,因为(0,),所以,所以a214sin2144,a2.综上,a2.22(本小题满分12分)设z1是虚数,z2z1是实数,且1z21.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围(2)若,求证:为纯虚数解析:(1)设z1abi(a,bR且b0),则z2z1abii.因为z2是实数,b0,于是有a2b21,即|z1|1,还可得z22a.由1z21,得12a1,解得a,即z1的实部的取值范围是.(2)i.因为a,b0,所以为纯虚数4