《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第2课时 空间图形的公理4及等角定理学案 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第2课时 空间图形的公理4及等角定理学案 北师大版必修2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时空间图形的公理4及等角定理1.掌握公理4和“等角定理”.(重点)2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角.(难点)基础初探教材整理1公理4阅读教材P25“公理4”部分，完成下列问题.1.条件：两条直线平行于同一条直线.2.结论：这两条直线平行.3.符号表述：ac.已知a，b是平行直线，直线c直线a，则c与b()A.不平行B.相交C.平行D.垂直【解析】若cb，则ab，与已知矛盾，因而c不与b平行.【答案】C教材整理2等角定理阅读教材P26“等角定理”部分内容，完成下列问题.1.条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行.2.结论：这两个
2、角相等或互补.空间中一个角A的两边分别与另一个角B的两边对应平行，若A70，则B_.【解析】若A的两边与B的两边方向均相同或均相反，则B70；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B110.【答案】70或110教材整理3异面直线所成的角阅读教材P26有关部分，完成下列问题.定义过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角取值范围异面直线所成的角的取值范围：特例当时，a与b互相垂直，记作ab在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与BC1所成的角的大小为_.【解析】BB1AA1，B1BC1为
3、直线AA1与BC1所成的角，其大小为45.【答案】45小组合作型公理4的应用如图1411，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.图1411(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD. 【导学号：39292020】【精彩点拨】(1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定理证明.(2)若四边形EFGH是矩形，则EHGH，从而推知ACBD.【自主解答】(1)如题图，在ABD中，EH是ABD的中位线，EHBD，EHBD.又FG是CBD的中位线，FGBD，FGBD，FGEH，E，F，G，H四点共面，又FGEH，四边
4、形EFGH是平行四边形.(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH，ACBD.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.再练一题1.已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点.图1412求证：四边形MNAC是梯形.【证明】连接AC(图略).M，N为CD，AD的中点，MNAC.由正方体性质可知ACAC，MNAC，四边形MNAC是梯形.等角定理的应用 如图1413，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是
5、棱AD和A1D1的中点.图1413(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.【精彩点拨】(1)利用公理4进行平行之间的转化，得到平行关系.(2)利用等角定理证明两角相等.【自主解答】(1)ABCDA1B1C1D1为正方体，ADA1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，AMA1M1，四边形AMM1A1为平行四边形，MM1AA1.又AA1BB1且AA1BB1，MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1
6、M1C1都是锐角，BMCB1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1，BMCB1M1C1.1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.2.证明角相等，一般采用以下途径(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.再练一题2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为A
7、D，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1PCN，A1QCM，且PA1QMCN.图1414【证明】取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，CMBK.又A1KBQ且A1KBQ，四边形A1KBQ为平行四边形，A1QBK，由公理4有A1QCM，同理可证A1PCN，由于PA1Q与MCN对应边分别平行，且方向相反，PA1QMCN.探究共研型求异面直线所成的角探究1已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？图1415【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线aa，bb，则两条相交直线a，b所成的锐角或直角即两条异面直线a，b所成的角.探究2a与b所成角的
8、大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】a与b所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上.如图1416，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF，求异面直线AD，BC所成角的大小.图1416【精彩点拨】根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD，BC平移到同一平面内解决.【自主解答】如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EMAD，FMBC，则EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.因为ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，
9、过点M，作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD，BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60.求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角度，常放在三角形内求解.(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.再练一题3.如图1417，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AA
10、B，E，F分别是BD1和AD的中点，则异面直线CD1，EF所成的角的大小为_.图1417【解析】取CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBC.F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，DGCD1，D1GD90，异面直线CD1，EF所成的角为90.【答案】901.下列结论中正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条
11、直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A.B.C.D.【解析】错，可以异面.正确，公理4.错误，和另一条可以异面.正确，由平行直线的传递性可知.【答案】B2.如图1418所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于() 【导学号：39292021】图1418A.45B.60C.90D.120【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，A1BEF，BC1GH，所以A1B和BC1所成角为异面
12、直线EF与GH所成角，连接A1C1知，A1BC1为正三角形，故A1BC160.【答案】B3.已知直线a，b，c，下列三个命题：若ab，ac，则bc；若ab，a和c相交，则b和c也相交；若ab，ac，则bc.其中，命题正确的是_.【解析】项正确；项不正确，有可能相交也有可能异面；项不正确，可能平行，可能相交也可能异面.【答案】4.已知点P在直线l外，则过点P且与l成30角的异面直线有_条.【解析】如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的所有直线都与l成30角，其中只有两条直线与l共面，其余的异面.因此，这样的异面直线有无数条.【答案】无数5.如图1419，已知长方体ABCDABCD中，AB2，AD2，AA2.图1419(1)BC和AC所成的角是多少度？(2)AA和BC所成的角是多少度？【解】(1)因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角.在RtABC中，AB2，BC2，所以BCA45.因此，异面直线BC和AC所成的角为45.(2)因为AABB，所以BBC是异面直线AA和BC所成的角.在RtBBC中，BCAD2，BBAA2，所以BC4，BBC60.因此，异面直线AA与BC所成的角为60.9
