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1、第一节 集合的概念与运算1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N *或N2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等AB，且ABAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集x，x，A，B3集合的基本运算表示运
2、算 文字语言符号语言图形语言记法交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合x|xA，且xBAB并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合x|xA，或xBAB补集全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合x|xU，且xAUA4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有2n1个，非空子集有2n1个(2)集合的传递性：AB，BCAC.(3)ABABAB.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)小题体验1(2018江苏高考)已知集合A0,1,2,8，B1,1,6,8，那么AB_.答案：1,82已知全集U1
3、,2,3,4,5,6，M2,3,4，N4,5，则U(MN)_.答案：1,63设集合Ax|(x1)(x2)0，Bx|0x3，则AB_.答案：x|0x24设全集UN*，集合A2,3,6,8,9，集合Bx|x3，xN*，则图中阴影部分所表示的集合是_答案：2,31认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件2解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系3注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身4运用数轴图示法注意端点是实心还是空心5在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异
4、性”而导致解题错误小题纠偏1已知集合AxN|x22x0，则满足AB0,1,2的集合B的个数为_解析：由A中的不等式解得0x2，xN，即A0,1,2因为AB0,1,2，所以B可能为0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，共8个答案：82已知集合M1,2，N3,4,5，Px|xab，aM，bN，则集合P的元素个数为_解析：因为aM，bN，所以a1或2，b3或4或5.当a1时，若b3，则x4；若b4，则x5；若b5，则x6.同理，当a2时，若b3，则x5；若b4，则x6；若b5，则x7，由集合中元素的特性知P4,5,6,7，则P中的元素共有4个答案：43设集合Ax|ylg(x2x2)，Bx|
5、xa0，若AB，则实数a的取值范围是_解析：由题设条件得Ax|x2x20x|1x2，Bx|xa因为AB，在数轴上表示出两集合如图所示，故a1.答案：(，14已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_解析：由题意得m23或2m2m3，则m1或m.当m1时，m23且2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，满足题意故m.答案：题组练透1(易错题)已知集合A1,2,4，则集合B(x，y)|xA，yA中元素的个数为_解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个答案：92若1
6、a1,2a1，a21，则实数a的取值集合是_解析：若a11，解得a0，此时集合中的元素为1,1，1，不符合元素的互异性；若2a11，解得a1，此时集合中的元素为2，1，0，符合题意；若a211，解得a0，不符合题意，综上所述，a1，故填1答案：13若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_.解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根当a0时，x，符合题意当a0时，由(3)28a0，得a，所以a的值为0或.答案：0或4(易错题)已知集合A1,2,3，B1，m，若3mA，则非零实数m的值是_解析：由题意知，若3m1，则m2，符合题意；若3m2，则m1，此
7、时集合B不符合元素的互异性，故m1；若3m3，则m0，不符合题意故m2.答案：2谨记通法与集合中元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集(2)看这些元素满足什么限制条件(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性典例引领1已知集合M1,2,3,4，则集合Px|xM且2xM的子集有_个解析：由题意，得P3,4，所以集合P的子集有224个答案：42已知集合A，B，则集合A，B的关系为_解析：x1，nZ，2n为偶数，2n1为奇数，2n3为奇数， AB.答案：AB3(2019无锡期中)已知集合A0,1,2，集合B，且BA，则
8、实数x_.解析：B且BA，2，x.答案：由题悟法判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系即时应用1已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为_解析：由x23x20得x1或x2，所以A1,2由题意知B1,2,3,4，所以满足条件的C可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，故所求集合C的个数为4.答案：4
9、2(2018镇江二模)设集合A2,4，Ba2,2(其中a0)，若AB，则实数a_.解析：A2,4，Ba2,2，且AB，a24.又a0，a2.答案：23(2019海门中学测试)已知集合A1,3，B2x,1(1)记集合M1,4，y，若集合AM，求实数xy的值；(2)是否存在实数x，使得BA？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由解：(1)由题可知所以故xy19.(2)假设存在实数x，使得BA，则2x3，或2x.若2x3，则x1，不合题意；若2x，则x20，解得x1，不合题意故不存在实数x，使得BA.锁定考向集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；
10、有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力常见的命题角度有：(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题 题点全练角度一：集合的运算1设集合A1,2,6，B2,4，C1,2,3,4，则(AB)C_.解析：由题意知AB1,2,4,6，所以(AB)C1,2,4答案：1,2,42(2019汇龙中学检测)已知全集U1,2,3,4,5，集合A1,3,4，集合B2,4，则(UA)B_.解析：因为UA2,5，所以(UA)B2,4,5答案：2,4,5角度二：利用集合运算求参数3(2019苏州模拟)已知全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，则实数a_.
11、解析：由题意知，a22a35，解得a4或a2.当a4时，|2a1|9，而9U，所以a4不满足题意，舍去；当a2时，|2a1|3,3U，满足题意故实数a的值为2.答案：2角度三：新定义集合问题4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合若x，yR，Ax|y，By|y3x，x0，则AB_.解析：因为Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|1x2，结合Venn图可知ABAB(AB)x|0x1或x2答案：x|0x1或x2通法在握解集合运算问题4个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，
12、先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决数形结合常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图新定义型问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决演练冲关1(2018南京高三年级学情调研)若集合P1,0,1,2，Q0,2,3，则PQ_.解析：由已知可得，PQ0,2答案：0,22(2018苏州检测)设集合A(x，y)|yax1，集合B(x，y)|yxb，且AB(2,5)，则ab_.解析：因为A(x，y)|yax1，B(x，y)|yxb，且AB(2,5)，所以52a1，且52b，解得a2，b3，所以ab5.答案：53(2019南京师大附中检测)设A，B是非空集合，定义ABx|x(AB)且x(AB)已知集合A
