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1、专题49 合理建系-妙解三类空间角问题考纲要求: 1能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题了解向量方法在研究立体几何问题中的应用基础知识回顾:1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2直线和平面所成的角的求法如图甲所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.3二面角的求法(1)如图乙中，AB，CD是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图乙中，n1，n2分别是二面角 l 的两个
2、半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2或n1，n2应用举例:类型一、线线角问题1、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系例1如图所示，在正方体中，已知分别是和的中点，则与所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 【解析】：建立如图所示的空间坐标系，则，故，所以，则，应选答案A。另解：如图，平移至，连，在中，运用余弦定理可得，应选答案A。 2、利用面面垂直建立空间直角坐标系例2在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB2，CC1，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为 ( )A1 B C D 【解析】：取线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1平面ABB1A1，可以以，
3、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz， 如图2，则A(1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，0)，(2,0，)，(1，)，因为(2,0，)(1，)0，所以， 即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.故选A. 小结：注意向量的夹角与异面直线所成角的区别，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角类型二、线面角问题1、利用线面垂直建立空间直角坐标系例1、【浙江省嘉兴市第一中学2018届高三9月基础测试】如图，四棱锥,底面为菱形，平面，为的中点，.（I）求
4、证：直线平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析;(2) .（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系. 设平面的法向量， .所以直线与平面所成角的正弦值为 2、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系例2、四面体ABCD及其三视图如图5所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H. (1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值 (2)如图6，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， (0,0,1)，(2,2,0)，(2,0
5、,1) 设平面EFGH的法向量n(x，y，z)， EFAD，FGBC，n0，n0， 得取n(1,1,0)，sin |cos，n|.小结：利用平面的法向量求线面角时注意事项(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2cos21求出其值不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求类型三、面面角问题 1、利用面面垂直建立空间直角坐标系 例1【河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试】如图，四棱锥中，底面为梯形， 底面， ， ， ， （1）求证：平面 平面；（2）设为上的一点，满足，若直线与平
6、面所成角的正切值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）， 平面所以平面平面. （II）由（I）可知为与底面所成角. 所以，所以 【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 2、利用正方体建立空间直角坐标系例2、如图9，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分
7、别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由 解析：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图10所示空间直角坐标 系Dxyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)则(2,0,2)，(1,0，)，(1,1,0) (1)证明：当1时，(1,0,1)，因为(2,0,2)，所以2，即BC1FP. 而FP平面EFPQ，
8、且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，则 由可得于是可取n(，1) 同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2,2，1) 若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角， 则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.故存在1，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角 小结：求二面角时要注意判断其平面角是锐角还是钝角时，若不能判断二面角的平面角是锐角还是钝角时，要利用法向量的方向来判断法向量的夹角与二面角之间的关系是相等还是互补方法、规律归纳:求空间角的基本方法：(1)建立适当的空间直角坐标系，便于坐标的求
9、解(2)利用向量法求异面直线与所成的角，主要求出两直线的方向向量与， 则cos .(3)利用向量法求斜线与平面所成的角的方法：分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(若是钝角，取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角(4)利用向量法求二面角的方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小实战演
10、练:1【河南省2018届高三12月联考】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形， ， ，且， . （1）求证：平面平面；（2）设，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .试题解析：（1）证明：如图，取， 的中点， ，连接， ， ， ，则四边形为正方形， ，.又，又平面，又平面.，.又，平面.又平面，平面平面. 设平面的一个法向量为，由，得，取，得.又设平面的法向量为，由得，取，得，由图形得二面角为锐角，二面角的余弦值为.点睛：利用坐标法解决空间角问题的步骤及注意点（1）解题步骤：证明存在两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据向量的数量积求得两法
11、向量夹角的余弦。（2）注意事项：解题时分清两法向量的夹角与二面角大小的关系，在求得法向量夹角余弦的基础上，要结合图形判断二面角为锐角还是钝角，最后得到结论。2【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中考试】如图，在三棱锥中， 两两互相垂直，点分别为棱的中点， 在棱上，且满足，已知， . （1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）异面直线与所成角的余弦值为；（2）二面角的正弦值为；试题解析：（1）如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得： ， ， ， ， ， ， 所以， ，所以.因此异面直线与所成角的余弦值为.（2）平面的一
12、个法向量为. 3【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试】如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直， 为的中点. （1）求证： 平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证平面，转证线线垂直即可；（2）分别求出两个平面的法向量，利用向量间的运算关系求出两个向量的夹角，再转化为二面角的平面角试题解析：（1）法一：作于，连接由侧面与底面垂直，则面所以，又由， ， ，则，即取的中点，连接， 由为的中点，则四边形为平行四边形，所以，又在中， ，为中点，所以，所以，又由所以面. （2）设面的法向量为由， ，由（I）知面
13、，取面的法向量为所以，设二面角大小为，由为钝角得点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 4【湖南省长沙市长郡中学2018届高三第三次月考】如图所示，直三棱柱中， ， 为的中点， 为的中点. （1）求证： 面；（2）若面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.，则与平行且相等.四边形为平行四边形.，又面， 面，面. 又设面的法向量为， ， ， ，所以，令，则，.所以二面角的余弦值为. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的. 5【湖南省五市十
