高中数学易错题集锦

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1、高中数学易错题集锦指导教师：任宝安参加学生：路 栋 胡思敏 李 梅 张大山高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。 ，但 与 不等价。(x0y0) (x + y0xy0 ) (x1y2) (x + y3xy2 )【例 1】已知 f(x) = ax + ，若 求 的范围。xb ,6)(,0)(ff )3(f错误解法 由条件得 6232 156a2得 38b+ 得 .34)(10,40f即

2、错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 ，bxaf)(其值是同时受 制约的。当 取最大（小）值时， 不一定取最大（小）值，因而整个ba和 ab解题思路是错误的。正确解法 由题意有 , 解得：2)(1bf),(3,)2(31ffa把 和 的范围代入得 .195)(16bf)2(f .37)(16f在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。 【例 2】解下列各题(1) 设 是方程 的两个实根，则 的最小值是、 062kx 22)1()(不)D18)C(8)B(49)A(思路

3、分析 本例只有一个答案正确，设了 3 个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得： ,6,2k.49)3()(11)1()( 222k有的学生一看到 ，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的49体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、 0)6k(42.3k2不当 时， 的最小值是 8；3k21当 时， 的最小值是 182)()(这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2) 已知(x+2) 2+ =1, 求 x2+y2 的取值范围。y24错解 由已知得 y2=4x 216x 12，因此 x2+y2

4、=3x 216x12=3(x+ )2+38当 x= 时，x 2+y2 有最大值 ，即 x2+y2 的取值范围是(, 。83 283 283分析 没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2) 2+ =1 (x+2)2=1 1 3x1，y24 y24从而当 x=1 时 x2+y2 有最小值 1 x2+y2 的取值范围是1, 。283注意有界性：偶次方 x20，三角函数1sinx 1，指数函数 ax0，圆锥曲线有界性等。忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例 3】已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2 的最小值。1a 1b错解

5、(a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +42ab+ +44 +4=8, a1b1a2babab1(a+ )2+(b+ )2 的最小值是 8.a1b分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等号成立的条件是 a=b=,第二次等号成立的条件是 ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不b1是最小值。原式= a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=(a+b)22ab+( + )2 +412b2a1b= (12ab)(1+ )+4，由 ab( )2= 得：1 2ab1 = , 且 16 ，1+ 17 ，4221ba2原式 17+4= (当

6、且仅当 a=b= 时，等号成立) ，5(a + )2 + (b + )2 的最小值是 。a1b252不进行分类讨论，导致错误【例 4】已知数列 的前 项和 ，求n12nS.na错误解法 .2)()( 11 nnSa错误分析 显然，当 时， 。311a错误原因：没有注意公式 成立的条件是。nnS因此在运用 时，必须检验 时的情形。即： 。1nnSa1),2(1NnSan以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例 5】(1)设等比数列 的全 项和为 .若 ，求数列的公比 .nanS9632Sq错误解法 ，,2963

7、Saqa1)(1)()( 91.0(） 整 理 得 q。1q24q,0)1(q2.01q20q3336 不不错误分析 在错解中，由 ，aa)(916131时，应有 。0q2(363不不q01不在等比数列中， 是显然的，但公比 q 完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论公比1a的情况，再在 的情况下，对式子进行整理变形。q正确解法 若 ，则有 但 ，即得1.9,6,3111aSaS0与题设矛盾，故 .,2963Sq又依题意 963S2 qq1)(21)()( 9631,即 因为 ，所以 所以01q2(63不,0)(3q,03解得 .3.243说明 此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（2

8、1）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分。(2)求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点。)1,0( xy2错误解法 设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为)1,0(1k，消去 得 整理得 xyk2y.02xk .01)2(2xkx直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为,.1k.y错误分析 此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为 时，没有考虑 与斜率不存在的情形，实际上就是承认1kxy0了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于

9、直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。,0k正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点 ，所以 即x)1,0(,0xy轴，它正好与抛物线 相切。xy2当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1 平行 轴，它正好与抛物线 只有一个交xxy2点。一般地，设所求的过点 的直线为 ,则 ，),0(k)0(xyk12令 解得 k = , 所求直线为.1)2(2xkx,12 .综上，满足条件的直线为： .,0,xyxy章节易错训练题1、

10、已知集合 M = 直线 ，N = 圆 ，则 MN 中元素个数是 A(集合元素的确定性)(A) 0 (B) 0 或 1 (C) 0 或 2 (D) 0 或 1 或 22、已知 A = ，若 AR * = ，则实数 t 集合 T = (x (x2 + tx + 1 = 0)_。 (空集)t3、如果 kx2+2kx(k+2)0xx 1 x 0)（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数 f (x) = log (x 2 + a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围是 D(正确使用0 和0 , b0 , a+b=1，则(a + )2 + (b + )2 的最小值是 _。 (三相等)1a 1b

11、 25222、已知 x k (k Z)，函数 y = sin2x + 的最小值是 _。5（三相等）4sin2x23、求 的最小值。xy22cos8sin错解 1 |cosin|8cosini 2222 xx.16,.16|sin| minyx错解 2 .26182)cos8()isi( 222 xy错误分析 在解法 1 中， 的充要条件是6y |sin|coinx且即 这是自相矛盾的。.|xsin|2|xtan|不 .miy在解法 2 中， 的充要条件是2y这是不可能的。,2cos2sincos8siin xxxx ， 即且正确解法 1 y22e.18xtan4co20)(tt1(8)22其中

12、，当 .18ytxtan4cot 22 不不 .min正 确 解 法 2 取正常数 ，易得kkxxy )coss8()sini( 22 .2682kk其中“ ”取“”的充要条件是 .1tankcoikxsin 2222 不不不因此，当 ,186y1tamiy24、已知 a1 = 1，a n = an1 + 2n1 (n2) ，则 an = _。2 n1(认清项数)25、已知 9 、a 1、a 2、1 四个实数成等差数列，9、b 1、b 2、b 3、1 五个实数成等比数列，则 b2 (a2a 1) = A(符号)(A) 8 (B) 8 (C) (D) 98 9826、已知 an 是等比数列，S

13、n 是其前 n 项和，判断 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k 成等比数列吗？当 q = 1，k 为偶数时，S k = 0，则 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k 不成等比数列；当 q1 或 q = 1 且 k 为奇数时，则 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k 成等比数列。（忽视公比 q = 1 ）27、已知定义在 R 上的函数 和数列 满足下列条件：)(xfna，f(a n)f(a n1 ) = k(ana n1 )(n = 1211 ,.4,32)(,nafan 2,3,)，其中 a 为常数，k 为非零常数。（1）令 ，证明数列ab*(N是等比数列；（2）求数列 的通项公式；（

14、3）当 时，求 。(2004nbn |knlim天津)（等比数列中的 0 和 1，正确分类讨论）28、不等式 m2(m 23m)i ，误认短轴是 b = 2 ；要分析直线 PQ 斜率是否存在(有时也可以2 2设为 x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为 0 否，再考虑0，后韦达定理。)41、 已知双曲线的右准线为 ，右焦点 ,离心率 ,求双曲线方程。4x)1(F2e错解 1 故所求的双曲线方程为.60,0,1, 222 acbacax.6042yx错解 2 由焦点 知)0,1(F,c .75,5,222acbace故所求的双曲线方程为 .1752yx错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解 1 设 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为 ，右焦点 ，),(yxP 4x)0,1(F离心率 ，由双曲线的定义知 整理得 2e .2|4|)10(2xy.816)2(y正解 2 依题意，设双曲线的中心为 ,)(m则 解得 ,所以 .2104acma.284ca