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1、1选修系列教学中的几个问题 人民教育出版社 章建跃一、常用逻辑用语的教学1内容与要求的说明（1）按照课标的规定，学习常用逻辑用语，主要目的是使学生体会逻辑用语在表述和论证中的作用，能利用这些逻辑用语准确地表达数学内容。因此，教材中没有举“生活中的实例” 。虽然这与课标中提到的“通过生活和数学中的丰富实例，理解的意义”有一定的不符，但我们认为这样更有利于教学，因为生活中的例子虽然有趣，但是容易引起歧义。这里，所用的数学例子一般都比较简单，主要考虑的是把重点放在理解逻辑用于上。有些老师感觉不过瘾，认为书本上的题目太简单了。总的来说，通过一定的数学例子让学生理解相关的知识，脑子中有一些例子支撑概念的
2、理解，而不在概念的形式表达上作过多的文章，这是本章教学的一个原则。（2）本章内容涉及：命题及其关系；充分条件与必要条件；简单的逻辑联接词；全称量词与存在量词（新增内容，包括概念，判断全称命题和特称命题真假的方法，对含有一个量词的命题的否定） 。三部分内容之间具有紧密的联系。教科书注意加强联系性，提高思想性，如结合串联、并联电路理解逻辑联结词“且” 、 “或”的含义，结合串联、并联电路的接通和断开理解“且” 、 “或”联结的命题的真假；类比集合的“交” “并” “补”运算理解逻辑联结词“且”“或” “非”等。各部分内容的编排，一般是按照思考、探究、发现、归纳总结，最后给出数学结论的形式展开的，体
3、现了“归纳式” ，给学生概括的机会。不要机械地记忆，形成丰富例证很重要。2本章难点分析本章的主要难点是理解必要条件的意义；对含有一个量词的全称命题或特称命题的否定。充要条件的编写，也有人提出因为必要条件难理解，所以把充分条件和必要条件分开说。但是考虑到这两个概念之间紧密的联系，而且条件和结论具有相对性（p、q 都可以作为条件）所以放在一起出。学生往往不清楚由 p 推出q，则 p 是 q 的充分条件，为什么 q 又成了 p 的必要条件了？这儿的必要性怎么理解？为此，教科书在边框中引入与不等式有关的例子，帮助学生从原命题与逆否命题的等价性角度去理解必要条件。这是一个示范，教学中可以再举一些例子，也
4、可以让学生自己举例。实际上， “充分”就是“有此就够了，不需要别的了” ；“必要”就是“必须要有，有了又不一定够” 。对必要性的理解难在“有了不一定够” 。这里，分清条件和结论是关键。对含有一个量词的命题的否定，学生出现逻辑错误的原因是不知道该否定什么。如错误的认为教科书 P26 的探究 1 中“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形” ；错误的认为 P27 的探究 2 中“某些平行四边形是菱形”的否定是“某些平行四边形不是菱形”等。教学中要引起重视，这关系到学生对相关命题的认识，并可能影响到后来的相关命题的证明，如从逆否命题的角度去证明一个命题，就涉及到对这个命题结论
5、的正确否定。为避免这些逻辑上易犯的错误，教科书是通过大量的实例帮助学生去理解量词2的含义以及对它们的正确否定。3教学建议（1）注意使用数学实例，加强对基本概念意义的理解本章内容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。为此，教科书在安排内容时，就突出了让学生领会这些常用逻辑用语的含义，从而更好的运用这些常用逻辑用语的这一目的。本章内容与日常生活中的某些逻辑表述、形式逻辑中的表述，有一定关联，但又有一定差别。为此，教科书从大量数学实例出发，帮助学生认识这些常用逻辑用语的数学含义。例如，“命题”概念的阐述通过总结
6、 6 个数学例子的基础上概括得出；四种命题及其关系通过对命题“若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论，达到对四种命题及其关系的认识；逻辑联结词“或” “且” “非”含义和用法也通过学生熟悉的数学实例讲授的；全称量词和存在量词主要通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。要注意不要在复杂性上做文章有些问题。（2）强调联系性可以调动一下学生的不同学科知识。例如，教科书中有：使用有典型性的学生熟悉的数学实例，从逻辑角度说明；串联、并联电路，形象直观地理解“且” “或”的含义及判断相关命题的真假；类比集合“交” “并” “补”运算，体会逻辑联
7、结词“且” “或” “非”的含义，以及由它们联结得到一个新命题的过程。（3）符号语言的运用注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释。注意自然语言、文字语言、符号语言三者的相互转化。二、解析几何的教学1“课标”对解析几何内容的安排为了体现“基础性”“多样性”“选择性”的原则，普通高中数学课程标准（实验）（以下简称“课标”）螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。必修模块，要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置
8、关系，并了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。选修 1、2 模块（必选），要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，“课标”设置了坐标系与参数方程专题（任选），要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数
9、学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。3从上述安排可见，“课标”构建的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依“直线与方程圆与方程圆锥曲线与方程极坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。2教材编写过程中考虑的几个问题（1）突出坐标法的核心地位，强调数形结合思想应当说，任何解析几何的教材都会把这个问题作为首要任务加以考虑，关键是如何落实。为此，教材从三个方面考虑：第一，随时随地强调坐标法的基本思想，明确表述坐标法的基本步骤，并将其概括为“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算与变换
10、，解决代数问题；第三步：分析代数结果的几何含义，并“翻译”成几何结论。第二，用坐标法解决典型的平面几何问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量。例如，用坐标法证明三角形、平行四边形的性质，证明与圆相关的一些命题等。这些问题在平面几何中有一定困难，但用坐标法解决却“轻而易举” 。第三，在解析几何学习的入门阶段，不安排涉及复杂代数运算的题目，减少代数变换的困难，但通过各种机会渗透和概括坐标法思想，强调经历用坐标法解决问题的完整过程，使学生集中精力于坐标法的学习。在后续阶段，逐步加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思路。例如，在每一个章前引言中，不厌其烦地阐述解析几何的基本思想
11、；加强“如何在坐标系下确定问题的几何要素”的引导，体现“从平面几何到解析几何”的过渡；明确提出“如何利用几何关系和几何量的代数表示讨论几何问题”的思考任务；强调用坐标法研究问题的规范，给出利用方程完整地讨论几何性质的示范；等。例如，在回顾“平面直角坐标系”时，教科书给出两个具体问题，一个是来自实际生活的“声响定位” （P2 思考） ，另一个是数学本身的问题（P4 例 1） ，题干中都没有给定坐标系，其目的是让学生根据实际需要建立坐标系的过程中，体会坐标法除了突出坐标法和数形结合思想，教科书还注意体现解析几何的“综合学科”特点，强调其他思想方法的渗透和提炼。例如，在“平面直角坐标系中的伸缩变换”
12、中，先引导学生回顾由 的图象到 的图象的变换过sinyxsinyAx程，再抽象出一般的坐标变换公式，体现了从具体到抽象的思想；通过类比圆的参数方程中参数的几何意义，猜想椭圆参数方程中参数的几何意义；与线性规划建立联系，利用参数方程解决更广泛的优化问题；等。（2）根据学生学习心理安排教学内容与以往教材相比较，在强调教材的科学性、逻辑性、结构性的同时，特别关注学生的学习心理，注意按照学生的思维逻辑组织教学内容，这是人教 A 版的一个总体特色。在解析几何部分，具体体现在如下几个方面：第一，强调“先行组织者”的使用。认知心理学认为， “先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能够为学生的学习建立一
13、个“导游图” ，避免学习的盲目性，同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁。前已指出，解析几何具有“方法论”的学科特征，在解决具体问题之前明确其结构、方向和主要过程正4是“先行组织者”的“强项” 。所以，在教材内容的展开过程中，特别是在每一章节的开篇，我们赋予“先行组织者”以重要地位，特别注重用坐标法讨论问题基本思路的引导。实际上，这既是解析几何思想的教学，又是一种思维策略的教学。第二，坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识” ，采取“渗透明确应用”的过程。我们知道，坐标法、数形结合思想等都是数学中关于“怎么想” “怎么做”的知识，属“默会知识”范畴。这种知识的掌握，更多地要靠实践过程中的领悟和理
14、解。因此，从总体看，教材按如下思路展开这些内容：在“直线与方程” “圆与方程”部分，从渗透到逐步明确，同时提供用坐标法解决几何问题的示范和练习，引导学生体会解析几何思想；在“圆锥曲线与方程” “参数方程”中，在进一步明确坐标法和数形结合思想的基础上，加强用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中深刻理解，学会用坐标法思考和解决问题。第三，改变“从定义出发”的教材呈现方式，尽量用“归纳式”呈现教材，注意从简单到复杂、从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会。这是与以往教材有很大区别的地方。例如，在讲“倾斜角与斜率”概念时，先引导学生思考在直角坐标
15、系中（给定了参照系） ， “几个条件确定一条直线” “如何刻画倾斜程度 ”“如何用一个量来表示倾斜程度 ”等具体问题，并把它与日常生活中的“坡度”概念联系起来。在学生获得充分感知后，再概括出概念。又如， “曲线的方程” “方程的曲线”概念，这是一个充要条件，是数学严谨性的体现，在培养学生思维的逻辑性和严谨性方面都是很好的载体，但这也是一个不容易把握的概念，过早地出现，没有足够的知识准备，不仅会导致学生理解的困难，还会使他们产生“为什么要这样来要求”的疑问。因此，教材在直线与方程、圆与方程部分先有意识渗透相关概念，在圆锥曲线与方程之前，再安排这一概念的学习，并且也采用了从具体到抽象的思路。（3）
16、问题引导学习，改进教与学的方式这也是本套教材的一个特点。在解析几何部分，具体体现在如下几个方面：第一，充分发挥“史料”的作用，从整体上展示解析几何所研究的问题。正如上文所述，解析几何的发明既是为了解决人类实践活动中提出的问题，又是为了探寻科研的普适性方法。教科书以这些历史资料为素材，从宏观上提出问题，引导学生感受坐标法。我们认为，这样的处理对学生把握解析几何的基本思想和学习方向很有好处，这也是区别于以往教科书的一个突出特点。第二，利用“观察” “思考” “探究”栏目提出问题，引导学生主动学习。这些问题是学生在学习具体内容时普遍都会遇到的，教科书通过它们来引导学生的思考方向，为学生独立思考、自主探究构建平台。例如，在引入椭圆概念时，通过“你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？”引导学生探究确定椭圆的几何要素，从而为选择坐标系、建立标准方程、讨论椭圆的性质等做好必要准备。在推导椭圆标准方程的过程中，通过“观察图形，你能从中找出表示 a，c， 的线段吗？ ”引导学生思考 a，c ，
