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1、第九节 函数模型及其应用(全国卷5年0考),【知识梳理】 1.几类函数模型,2.三种函数模型的性质,递增,递增,y轴,x轴,【常用结论】 “对勾”函数:形如f(x)= (a0)的函数模型称为 “对勾”函数模型: (1)该函数在 上单调递增,在 上单调递减.,(2)当x0时, 时取最小值 当x0时, 时取最大值,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. ( ),(2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0, b1)增长速度越来越快的形象比喻. ( ) (3)幂函数增长比直线增长更快. ( )
2、(4)不存在x0,使 ( ),提示:(1).当x=-1时,2-11,a0的指数型函数g=abx+c. (3).幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓慢,题目说的太绝对,也没有任何条件限制.,(4).当a(0,1)时存在x0,使,2.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是_.,【解析】由题意可得y= 答案:y=,3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均
3、增长率为_.,【解析】设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q), 所以 答案:,题组二:走进教材 1.(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是 ( ),A.收入最高值与收入最低值的比是31 B.结余最高的月份是7月 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元,【解析】选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入 最低值为30万元,其比是31,故A正确;由题图可知,7 月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图 可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的
4、收入的变 化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为 (40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.,2.(必修1P104例5改编)生产一定数量的商品的全部 费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件 时的生产成本为C(x)= (万元).一万件售价 为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商 品数量为_万件.,【解析】利润L(x)=20x-C(x)= 当x=18时,L(x)有最大值. 答案:18,考点一 一次函数、二次函数、分段函数模型及其应 用 【题组练透】 1. (2019临沂模拟)已知华为公司生产某款手机的年 固定成本为40万美元,每生产1万只还
5、需另投入16万,美元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部 销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=,(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式. (2)当年产量为多少万只时,华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.,【解析】(1)当040时,W=xR(x)-(16x+40) 所以,(2)当0x40时,W=-6(x-32)2+6 104. 所以Wmax=W(32)=6 104;,当x40时, 由于 当且仅当 即x=50(40,+)时,取等号, 所以W取最大值为5 760. 综合,当x=32时,W取最大值为6 104万美元.,【误区警示】
6、(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. (2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错. (3)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏.,2. 某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满 足关系f(x)= 已知某家庭2016年前 三个月的煤气费如下表:,若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为 ( ) A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元,【解析】选A. 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25- A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5, C=
7、4,所以 f(x)= 所以f(20)=4+ (20-5)=11.5.,3.(2019中山模拟)A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.,(1)求x的取值范围. (2)把月供电总费用y表示成x的函数. (3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?,【解析】(1)由题意知x的取值范围为10,90.,(3)因为 所以当 时,ymin= 故核电站建在距A城 km处,能使供电总
8、费用y最少.,【规律方法】一次、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略 (1)在实际问题中,若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分),一般构建一次函数模型,利用一次函数的图象与性质求解.,(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型,根据已知条件确定二次函数解析式.结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决.,(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.,考点二 函数 (a0)模型及应用 【典例
9、】某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天 需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的 保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每 次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才 能使平均每天支付的总费用最少.,【解析】设该养殖场x(xN*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200 0.03=6(元),所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)元.,从而有y= (3x2-3x+300)+2001.8 当且仅当 即x=10时,y有最小值.故该养殖场10 天购买一次饲料才能使平均每
10、天支付的总费用最少.,【规律方法】应用函数 模型的两个关键点 (1)明确“对勾”函数是由正比例函数f(x)=ax与反比 例函数f(x)= 叠加而成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+ 的 模型,有时也可以将所列函数解析式转化为f(x)=ax+ 的形式.,【对点训练】 某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为 ( ) A.10 B.11 C.13 D.21,【解析】选A.该企业需要更新设备的年
11、数为x,设备年 平均费用为y,则x年后的设备维护费为2+4+2x= x(x+1),所以x年的平均费用为 由均值不等式得: 21.5,当且仅当 即x=10时取等号.,考点三 指数函数、对数函数模型及应用 【典例】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树, 且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时, 所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保 留原面积的 已知到今年为止,森林剩余面积为原来 的,(1)求每年砍伐面积的百分比. (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?,【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1), 则,(2)设经过m年剩余面积为原来的 则 即 故到今年为止,该
12、森林已砍伐了5年.,【规律方法】掌握两种函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两种函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在这两类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.,(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.,【对点训练】 已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg nA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,现有以下几种说法:
13、PA1;,若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10; 假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5PA5.5(注:lg 20.3). 则正确的说法为_.(写出所有正确说法的序号),【解析】当nA=1时,PA=0,故错误;若PA=1,则nA=10,若 PA=2,则nA=100,故错误;B菌的个数为nB=5104,所以 所以PA=lg nA=lg 2+5.又因为lg 2 0.3,所以5PA5.5,故正确. 答案:,【变式备选】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家 发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2 (m/s), 其中q表示燕子的耗氧量,
14、则燕子静止时的耗氧量为 _个单位.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位 时,其速度是_m/s.,【解析】由题意,燕子静止时v=0,即5log2 =0, 解得q=10;当q=80时,v=5log2 =15(m/s). 答案:10 15,巧用结论系列函数应用中的建模问题 【结论诠释】数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤:,(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型. (3)解模:求解函数模
15、型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题.,以上过程用框图表示如下:,【典例】牧场中羊群的最大畜养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际畜养量不能达到最大畜养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0).,(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域. (2)求羊群年增长量的最大值. (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.,【解析】(1)根据题意,由于最大畜养量为m只,实际畜 养量为x只,则畜养率为 故空闲率为 由此可 得,(2)由(1)知 即当 时,y取得最大值,(3)由题意知为给羊群留
16、有一定的生长空间,则实际畜 养量与年增长量的和小于最大畜养量,即00,所以0k2. 故k的取值范围为(0,2).,【技法点拨】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解.解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题.,【即时训练】(2018烟台模拟)小王大学毕业后,决定 利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小 型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件, 需另投入流动成本为W(x)万元.在年产量不足8万件 时, (万元);在年产量不小于8万件时,每件产品售价为5元.通过市 场分析,小王生产的商品当年能全部售完
