《(通用版)2019版高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题十四 坐标系与参数方程讲义 理(普通生,含解析)(选修4-4)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(通用版)2019版高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题十四 坐标系与参数方程讲义 理(普通生,含解析)(选修4-4)(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、重点增分专题十四 坐标系与参数方程全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主
2、要有两个方面:一是简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用 保分考点练后讲评1.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程解:(1)由xcos ,ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0),半径为2的圆由题设知,C1是过点B(0,2)且关
3、于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以2,故k或k0.经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当k时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以2,故k0或k.经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当k时,l2与C2没有公共点综上,所求C1的方程为y|x|2.2.在平面直角坐
4、标系xOy中,曲线C1的方程为(x)2(y2)24,直线C2的方程为yx,以O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系求曲线C1和直线C2的极坐标方程解:曲线C1的普通方程为(x)2(y2)24,即x2y22x4y30,曲线C1的极坐标方程为22cos 4sin 30.直线C2的方程为yx,直线C2的极坐标方程为(R)3.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB
5、面积的最大值解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10)由题设知|OP|,|OM|1.由|OM|OP|16,得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知|OA|2,B4cos ,于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos sin2.当时,S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.解题方略1直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时,可以直接将xcos ,ysin 代入即可(2)极坐标方程化直角坐标方程时,一般需要构造2,sin ,cos ,常用的技巧有式子两边同乘以
6、,两角和与差的正弦、余弦展开等2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想结合使用;(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标. 保分考点练后讲评1.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为sin2cos 0,M.以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系斜率为1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点求曲线C和直线l的参数方程解:由sin2cos 0得2sin2cos ,y2x,故曲线C的直角坐标方程为y2x.故曲线C的参数方程为(t为参数),由题意,M的直角坐标为(0,1),则直线l的参数方程为(t为参数),即(t
7、为参数)2.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率解:(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时,l的直角坐标方程为ytan x2tan ,当cos 0时,l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1t20.又由得t1t2,故2cos sin 0,于是直线l的斜
8、率ktan 2.解题方略参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法:利用sin2cos21消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式:t1;224;221. 极坐标与参数方程的综合应用 分点研究题型一直线的参数方程中参数几何意义的应用例1(2019届高三湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,aR)以O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线C1的普通方程和
9、曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|2|PB|,求实数a的值解(1)曲线C1的参数方程为(t为参数,aR),曲线C1的普通方程为xya10.曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0,2cos24cos 20,又cos x,2x2y2,x24xx2y20,即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,由得t22t28a0.(2)24(28a)0,即a0,根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|t1|,|PB|t2|,由|PA|2|PB|得t12t2或t12t2,当t12t2时,有解得a0,符合题意,当t12t2时,
10、有解得a0,符合题意综上所述,a或a.变式1本例(2)的条件变为|PA|PB|6.求实数a的值解:由本例解析知|PA|PB|t1|t2|t1t2|28a|6,解得a1或.又a0,a1.变式2若本例曲线C1变为过点P(0,1),其参数方程为(t为参数),其他条件不变,求|PA|PB|.解:曲线C1的参数方程化为代入曲线C2的方程y24x得t26t20.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t10,t20.|PA|PB|t1|t2|t1t2|6.解题方略利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别
11、为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:(1)t0;(2)|PM|t0|;(3)|AB|t2t1|;(4)|PA|PB|t1t2|.题型二极坐标方程中极径几何意义的应用例2在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是2sin3,射线OM:与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长解(1)由圆C的参数方程为(为参数),可得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21,即x2y22x0.由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得,圆C的极
12、坐标方程为2cos .(2)由得P,由得Q,结合图可得|PQ|OQ|OP|Q|P|312.解题方略极径的几何意义及其应用(1)几何意义:极径表示极坐标平面内点M到极点O的距离(2)应用:一般应用于过极点的直线与曲线相交,所得的弦长问题,需要用极径表示出弦长,结合根与系数的关系解题多练强化1(2019届高三湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2的距离的最大值,并求此时点P的坐标解:(1)曲线C
13、1的普通方程为y21,由sin,得sin cos 2,得曲线C2的直角坐标方程为xy20.(2)设点P的坐标为(cos ,sin ),则点P到C2的距离为,当sin1,即2k(kZ),2k(kZ)时,所求距离最大,最大值为2,此时点P的坐标为.2(2018南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为1(1R),2(2R),设直线l1,l2与曲线C的交点分别为O,M和O,N,求OMN的面积解:(1)由参数方程得普通方程为x2(y2)24,把代入x2(y2)24,得24sin 0.所以曲线C的极坐标方程为4sin .(2)由直线l1:1(1R)与曲线C的交点为O,M,得|OM|4sin2.由直线l2:2(2R)与曲线C的交点为O,N,得|ON|4sin 2.易知MON,所以SOMN|OM|ON|222. 1在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x