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1、专题跟踪检测(八) 数 列一、全练保分考法保大分1已知等差数列的前3项依次为a,a2,3a,前n项和为Sn,且Sk110,则k的值为()A9B11C10 D12解析:选C由a,a2,3a成等差数列,得公差为2,且2(a2)a3a,解得a2,所以Sk2k2k2k110,解得k10或k11(舍去)2(2018云南模拟)已知数列an是等差数列,若a11,a33,a55依次构成公比为q的等比数列,则q()A2 B1C1 D2解析:选C依题意,注意到2a3a1a5,2a36a1a56,即有2(a33)(a11)(a55),即a11,a33,a55成等差数列;又a11,a33,a55依次构成公比为q的等比
2、数列,因此有a11a33a55(若一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列是一个非零的常数列),q1.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难次日脚痛减一半,六朝方得至其关要见次日行里数,请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地”则第三天走了()A60里 B48里C36里 D24里解析:选B由题意得每天走的路程构成等比数列an,其中q,S6378,则S6378,解得a1192,所以a319248.4已知递减的等差数列an中,a31,a1,a4,a6成等比数列若Sn为数列a
3、n的前n项和,则S7的值为()A14 B9C5 D1解析:选A设数列an的公差为d,由题可知d0.由a2a41,得a1,a31.S37,a1a2a317,即6q2q10,解得q或q(舍去)故q.答案:8在各项均为正数的等比数列an中,am1am12am(m2),数列an的前n项积为Tn.若T2m1512,则m的值为_解析:由等比数列的性质,得am1am1a2am.又数列an的各项均为正数,所以am2.又T2m1(am)2m122m1512,所以2m19,所以m5.答案:59设数列an的前n项和为Sn,且a11,anan1(nN*),则S2n1_.解析:因为a11,anan1(nN*),所以S2
4、n1a1(a2a3)(a2n2a2n1)1.答案: 10(2018成都模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,a23,S416,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设数列an的公差为d,a23,S416,a1d3,4a16d16,解得a11,d2.an2n1.(2)由题意,bn,Tnb1b2bn.11(2019届高三南宁二中、柳州高中联考)已知a12,a24,数列bn满足:bn12bn2且an1anbn.(1)求证:数列bn2是等比数列;(2)求数列an的通项公式解:(1)证明:由题知,2,b1a2a1422,b124,数列bn2是以4为首项,
5、2为公比的等比数列(2)由(1)可得,bn242n1,故bn2n12.an1anbn,a2a1b1,a3a2b2,a4a3b3,anan1bn1.累加得,ana1b1b2b3bn1(n2),an2(222)(232)(242)(2n2)2(n1)2n12n,故an2n12n(n2)a12符合上式,数列an的通项公式为an2n12n(nN*)12已知数列an是等差数列,a26,前n项和为Sn,bn是等比数列,b22,a1b312,S3b119.(1)求an,bn的通项公式;(2)求数列bncos(an)的前n项和Tn.解:(1)数列an是等差数列,a26,S3b13a2b118b119,b11,
6、b22,数列bn是等比数列,bn2n1.b34,a1b312,a13,a26,数列an是等差数列,an3n.(2)由(1)得,令Cnbncos(an)(1)n2n1,Cn1(1)n12n,2,又C11,数列bncos(an)是以1为首项,2为公比的等比数列,Tn1(2)n二、强化压轴考法拉开分1已知数列an的前n项和为Sn,且a12,Sn14an2,则a12()A20 480 B49 152C60 152 D89 150解析:选B由S24a12,得a1a24a12,联立a12,解得a28.又an2Sn2Sn14an14an,an22an12(an12an),数列an12an是以a22a14为首
7、项,以2为公比的等比数列,an12an42n12n1,1,1,数列是以1为首项,以1为公差的等差数列,1(n1)n,ann2n,a121221249 152.2已知a11,ann(an1an)(nN*),则数列an的通项公式是()A2n1 B.n1Cn2 Dn解析:选D因为ann(an1an)nan1nan,所以nan1(n1)an,所以,所以ana11n.3(2018郑州模拟)已知数列an满足a11,|an1an|.若a2n1a2n1,a2n20,a2n2a2na2n2a2n,所以a2n1a2n2a2n1a2n.而|a2n1a2n2|,|a2n1a2n|,即|a2n1a2n2|a2n1a2n
8、|.综合,得a2n1a2n0,即a2n1a2n.裂项,得a2na2n1.综上可得,数列(1)nan的前40项的和为(a2a1)(a4a3)(a40a39).4(2019届高三河北“五个一名校联盟”联考)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数染成红色先染1;再染两个偶数2,4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,则在这个红色子数列中,由1开始的第2 018个数是()A3 971
9、B3 972C3 973 D3 974解析:选B由题意可知,第1组有1个数,第2组有2个数,根据等差数列的前n项和公式,可知前n组共有个数由于2 0162 0182 080,因此,第2 018个数是第64组的第2个数由于第1组最后一个数是1,第2组最后一个数是4,第3组最后一个数是9,第n组最后一个数是n2,因此,第63组最后一个数为632,6323 969,第64组为偶数组,其第1个数为3 970,第2个数为3 972,故选B.5(2019届高三南昌调研)设数列an的前n项和为Sn,若a13且当n2时,2anSnSn1(nN*),则数列an的通项公式an_.解析:当n2时,由2anSnSn1
10、可得2(SnSn1)SnSn1,即,数列是首项为,公差为的等差数列,(n1),Sn.当n2时,anSnSn1,又a13,an答案:6(2018开封模拟)已知数列an满足2(1)nan2(1)nan11(1)n3n(nN*),则a25a1_.解析:2(1)nan2(1)nan11(1)n3n,当n2k(kN*)时,a2k3a2k116k,当n2k1(kN*)时,3a2k1a2k16k3,a2k1a2k14k1,a25(a25a23)(a23a21)(a3a1)a1(4121)(4111)(411)a1412a1300a1,a25a1300.答案:300三、加练大题考法少失分1已知等差数列an的前n项和为Sn,S70,a32a212(nN*)(1)求数列an的通项公式an;(2)求数列的前n项和Sn.解:(1)设等差数列an的公差为d,由已知得解得所以an4n16.(2)由(1)知an4n16,所以,所以Sn,两边同乘以,得Sn