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1、7.2 简单的线性规划,高考理数 (课标专用),考点 简单的线性规划,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2017课标,5,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的最小值是 ( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9,答案 A 本题考查简单的线性规划问题. 根据线性约束条件画出可行域,如图. 作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值. 由 得点A的坐标为(-6,-3). zmin=2(-6)+(-3)=-15.故选A.,2.(2018课标,13,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 .,答案 6,解析 本题主要考查简单的线性规划.
2、由x,y所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示). 作出基本直线l0:3x+2y=0,平移直线l0,当经过点A(2,0)时,z取最大值,zmax=32=6.,题型归纳 线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略 (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以 对于一般的线性规划问题,我们可以直接求出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相 应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求线性规划中参数的值的基本方法有两种:一是把参数当成常数 用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程求解
3、参数 的值;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位 置,从而求出参数.,3.(2018课标,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 .,答案 9,解析 本题考查简单的线性规划. 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.,4.(2017课标,13,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x-4y的最小值为 .,答案 -1,解析 本题考查简单的线性规划. 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界). 可得目标函数z=3x-4y在点A(1,1)处
4、取得最小值,zmin=31-41=-1.,5.(2016课标,13,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 .,答案,解析 由题意画出可行域(如图所示),其中A(-2,-1),B ,C(0,1),由z=x+y知y=-x+z,当直线y=-x +z过点B 时,z取最大值 .,6.(2015课标,15,5分)若x,y满足约束条件 则 的最大值为 .,答案 3,解析 由约束条件画出可行域,如图. 的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以 的最大值即为直线OA的斜率, 又由 得点A的坐标为(1,3),则 =kOA=3. 解题关键 分析出 的几何意义是可行域内点(x,y)与原
5、点O连线的斜率是解题的关键. 导师点睛 (1)解决线性规划问题要利用数形结合的思想方法,坚决杜绝不画可行域,直接代点 求解的做法,因为可行域不一定是三角形;(2)将目标函数进行有效变形是解题的关键.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点 简单的线性规划 1.(2019天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=-4x+y的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6,答案 C 本题主要考查简单的线性规划.通过求线性目标函数的最大值考查学生的运算求 解能力. 作出可行域(如图中阴影部分), 平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值. 由 得P(-1,1
6、). zmax=-4(-1)+1=5.故选C.,解题反思 对于目标函数z=Ax+By,若B0,则目标直线向上平移时z变大;若B0,则目标直线向 下平移时z变大.,2.(2019北京,5,5分)若x,y满足|x|1-y,且y-1,则3x+y的最大值为 ( ) A.-7 B.1 C.5 D.7,答案 C 本题考查线性规划与绝对值不等式;考查学生的运算能力、数形结合思想的应用; 考查的核心素养为直观想象与数学运算. |x|1-y,且y-1等价于 表示的平面区域如图中阴影部分所示. 令3x+y=z,则y=-3x+z,当z=0时,方程y=-3x+z表示直线l,当直线l向右上方平移时,z逐渐增大,当直 线
7、过点A(2,-1)时,z=3x+y取最大值,为32-1=5,故选C. 疑难突破 解决本题的关键是利用绝对值的性质,将|x|1-y等价转化为,3.(2019浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值是 ( ) A.-1 B.1 C.10 D.12,答案 C 本题考查简单的线性规划问题,考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核 心素养. 根据题意画出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示),画出直线l0:3x+2y=0,平移l0 可知,当l0经过点C(2,2)时,z取最大值,即zmax=32+22=10,故选C. 一题多解 根据线性约束条件得出平面区域为ABC及其
8、内部(如上图所示),其中A(-1,1),B(1, -1),C(2,2),经检验,知目标直线经过点C(2,2)时,z取最大值10.故选C.,4.(2018天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+5y的最大值为 ( ) A.6 B.19 C.21 D.45,答案 C 本题主要考查线性目标函数最值的求解. 由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当直线经过点A(2,3)时,z取最大值,即zmax=32+53=21,故 选C.,5.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线
9、l上的投影.由区 域 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( ) A.2 B.4 C.3 D.6,答案 C 由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平 行,所以可行域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1, 1),所以|AB|=|CD|= =3 .故选C.,6.(2015福建,5,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=2x-y的最小值等于 ( ) A.- B.-2 C.- D.2,答案 A 由约束条件画出可行域如图(阴影部分). 当直线2x-y-z=0经过点A 时
10、,zmin=- .故选A. 评析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.,7.(2018北京,12,5分)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是 .,答案 3,8.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足 则x2+y2的取值范围是 .,答案,解析 画出不等式组 表示的可行域如图: 由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+ y2)max=22+32=13,(x2+y2)min等于点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离的平方,故(x2+y2)min= = ,所以x2 +y2的取值范
11、围为 . 解后反思 对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的 “距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.,9.(2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y21,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 .,答案 3,解析 x2+y21,6-x-3y0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,当2x+y-20时,t=x-2y+4.点(x,y)可取区域 内的点(含边界). 通过作图可知,当直线t=x-2y+4过点A 时,t取最小值,tmin= - +4=3. 当2x+y-28-3 -4 =3.综上,tmin=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y
12、|的最小值是3.,C组 教师专用题组 考点 简单的线性规划 1.(2017北京,4,5分)若x,y满足 则x+2y的最大值为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.9,答案 D 本题考查简单的线性规划. 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分. 令z=x+2y, 当z=x+2y过A点时,z取最大值. 由 得A(3,3), z的最大值为3+23=9.故选D.,2.(2017天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=x+y的最大值为 ( ) A. B.1 C. D.3,答案 D 本题主要考查简单的线性规划. 由变量x,y满足的约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示.由z=x+y得y
13、=z-x,当直线y=z-x经过 点(0,3)时,z取最大值3,故选D.,3.(2017浙江,4,4分)若x,y满足约束条件 则z=x+2y的取值范围是 ( ) A.0,6 B.0,4 C.6,+) D.4,+),答案 D 本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法. 不等式组形成的可行域如图所示. 平移直线y=- x,当直线过点A(2,1)时,z有最小值4.显然z没有最大值.故选D. 易错警示 1.易把可行域看成是图中的三角形OAB区域,而错选A;同时,又错认为过点A时,取 到最大值,而错选B.2.可行域判断对了,但错认为过点B时,z有最小值,从而错选C.,4.(2017山东,4,5分)已知
14、x,y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是 ( ) A.0 B.2 C.5 D.6,答案 C 本题考查简单的线性规划. 由约束条件画出可行域,如图. 由z=x+2y得y=- + ,当直线y=- + 经过点A时,z取得最大值,由 得A点的坐标为 (-3,4).故zmax=-3+24=5.故选C. 易错警示 没有真正掌握简单的线性规划问题的求解方法,从而找错了最优解,导致最终结果 错误.,5.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足 则x2+y2的最大值是 ( ) A.4 B.9 C.10 D.12,答案 C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示, x2+y2表示平面区域内的点到
15、原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距 离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C. 评析 本题考查了数形结合的思想方法.利用x2+y2的几何意义是求解的关键.,6.(2016天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=2x+5y的最小值为 ( ) A.-4 B.6 C.10 D.17,答案 B 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分). 当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,zmin=23+50=6,故选B. 评析 本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.,7.(2016北京,2,5分)若x,y满足 则2x+y的最大值为 (
16、) A.0 B.3 C.4 D.5,答案 C 画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z过点A(1,2) 时,z最大,zmax=4.故选C. 评析 本题考查简单的线性规划,属容易题.,8.(2015天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=x+6y的最大值为 ( ) A.3 B.4 C.18 D.40,答案 C 由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示,当动直线x+6y-z=0过点(0,3)时,zmax=0+ 63=18.故选C.,9.(2015山东,6,5分)已知x,y满足约束条件 若z=ax+y的最大值为4,则a=( ) A.3 B.2 C
