《（天津专用）2020届高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 10.1 椭圆及其性质课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（天津专用）2020届高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线 10.1 椭圆及其性质课件（79页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、A组 自主命题天津卷题组,五年高考,1.(2018天津文,19,14分)设椭圆 + =1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率 为 ,|AB|= . (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若 BPM的面积是BPQ面积的2倍,求k的值.,解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研 究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有 = , 又由a2=b2+c2,可得2a=3b. 由|AB|= = , 从而a=3
2、,b=2. 所以,椭圆的方程为 + =1. (2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2x10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的 面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1. 易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组 消去y,可得x2= .由方程组 消去y,可得x1= . 由x2=5x1,可得 =5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=- 或k=- .,当k=- 时,x2=-90,不合题意,舍去; 当k=- 时,x2=12,x1= ,符合题意. 所以,k的值为- .
3、,解题关键 第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得 到关于k的方程是求解的难点和关键.,2.(2014天津,18,13分)设椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为 B.已知|AB|= |F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆 相切.求直线l的斜率.,解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|= |F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则 = . 所以椭圆的离心率e= . (2)由(1)知a2=2c2
4、,b2=c2.故椭圆方程为 + =1. 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有 =(x0+c,y0), =(c,c). 由已知,有 =0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c0,故有 x0+y0+c=0. 又因为点P在椭圆上,故 + =1. 由和可得3 +4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点, 故x0=- c,代入得y0= , 即点P的坐标为 .,设圆的圆心为T(x1,y1),则x1= =- c,y1= = c,进而圆的半径r= = c. 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得 =r,即 = c, 整理得k2-8k+1=0,解得k=4 . 所以直
5、线l的斜率为4+ 或4- .,3.(2012天津文,19,14分)已知椭圆 + =1(ab0),点P 在椭圆上. (1)求椭圆的离心率; (2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.,解析 (1)因为点P 在椭圆上, 故 + =1,可得 = . 于是e2= =1- = , 所以椭圆的离心率e= . (2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx. 设点Q的坐标为(x0,y0). 由条件得,消去y0并整理得 = . 由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及y0=kx0,得(x0+a)2+k2 =a2. 整理得(1+k2) +2ax0=0,
6、而x00, 故x0= ,代入,整理得(1+k2)2=4k2 +4. 由(1)知 = ,故(1+k2)2= k2+4, 即5k4-22k2-15=0,可得k2=5. 所以直线OQ的斜率k= .,评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式 等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,以及数形结合的思想方法,考查运算求解能 力、综合分析和解决问题的能力.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2019课标理,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则p= ( ) A.2 B.3 C.4 D.8,答
7、案 D 本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运 算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 , 由已知得椭圆 + =1的一个焦点为 , 3p-p= ,又p0,p=8.,思路分析 利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值.,2.(2019课标文,12,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若| AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ( ) A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,答案 B 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用
8、;考查了数学运算能力和 方程的思想;考查的核心素养是数学运算,具有很好的创新意识. 令|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x, |AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x, 所以|AF1|=2x. 在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1, 即9x2=x2+22-4xcosBF2F1, 在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22-8x
9、cosAF2 F1,由得x= ,所以2a=4x=2 ,a= ,b2=a2-c2=2. 故椭圆的方程为 + =1.故选B.,思路分析 由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,又b2=a2-1, 故可得椭圆的方程.,疑难突破 利用余弦定理灵活解三角形是难点突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键.,3.(2018课标,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=6 0,则C的离心率为( ) A.1- B.2- C. D. -1,答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为 + =1(ab0). 在RtF1PF
10、2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|= c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即 c+c=2a, 所以椭圆的离心率e= = = -1.故选D.,疑难突破 利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是 难点的突破口.,4.(2017浙江,2,4分)椭圆 + =1的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c= ,离心率e= = .故选B.,5.(2015广东,8,5分)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=
11、( ) A.2 B.3 C.4 D.9,答案 B 依题意有25-m2=16,m0,m=3.选B.,6.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E. 求证:BDE与BDN的面积之比为45.,解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为 + =1(ab0). 由题意得 解得c= . 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)证明:设M(
12、m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0.,直线AM的斜率kAM= ,故直线DE的斜率kDE=- . 所以直线DE的方程为y=- (x-m). 直线BN的方程为y= (x-2).,联立 解得点E的纵坐标yE=- . 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2. 所以yE=- n. 又SBDE= |BD|yE|= |BD|n|, SBDN= |BD|n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45.,易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty +n,则要考虑斜率为0的情况.,7.(2016四川,20,13分)已知椭圆E: + =1(
13、ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点,点P 在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM 与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.,解析 (1)由已知,a=2b. 又椭圆 + =1(ab0)过点P , 故 + =1, 解得b2=1. 所以椭圆E的方程是 +y2=1. (2)证明:设直线l的方程为y= x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组 得x2+2mx+2m2-2=0, 方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得- m . 由得x1
14、+x2=-2m,x1x2=2m2-2. 所以M点坐标为 ,直线OM方程为y=- x, 由方程组 得C ,D . 所以|MC|MD|= (-m+ ) ( +m)= (2-m2). 又|MA|MB|= |AB|2= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (x1+x2)2-4x1x2= 4m2-4(2m2-2)= (2-m2), 所以|MA|MB|=|MC|MD|.,评析 本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.,8.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E: + =1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的 直线的距离为 c. (1)求椭圆E的离心率;
15、(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.,解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d= = , 由d= c,得a=2b=2 , 解得离心率 = . (2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|= . 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- , x1x
16、2= . 由x1+x2=-4,得- =-4,解得k= . 从而x1x2=8-2b2.,于是|AB|= |x1-x2|= = . 由|AB|= ,得 = ,解得b2=3. 故椭圆E的方程为 + =1. 解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|= . 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 +4 =4b2, +4 =4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB与x轴不垂直,则x1x2, 所以AB的斜率kAB= = . 因此直线AB的方程为y= (x+2)+1, 代入得x2+4x+8-2b2=0. 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.,于是|AB|=
