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1、融安高中高二数学 1 高二数学复习宝典（必看资料高二数学复习宝典（必看资料! !） 不等式不等式基本概念、公式复习宝典基本概念、公式复习宝典 一、不等式一、不等式： 1、不等式性质、不等式性质 （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减同向不等式可以相加；异向不等式可以相减： 若，则;,ab cdacbd 若，则，但同向不等式不可以相减；,ab cdacbd （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除； 若，则0,0abcdacbd 异向不等式可以相除异向不等式可以相除，但不能相乘； 若，则；0,0abcd ab cd （3）左右同正不等式：两
2、边可以同时乘方或开方左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方： 若，则或；0ab nn ab nn ab （4）倒数法则倒数法则： 若，则；若，则.0ab ab 11 ab 0ab ab 11 ab 2.2. 作差法比较作差法比较不等式大小不等式大小： 步骤：作差变形判断符号；关键是第二步，通过因式分解、通分、配方等将差式变形为积、商、 或平方和的形式，判断差式与 0 的大小； 3 3、证明不等式的方法、证明不等式的方法： 比较法、分析法和综合法 （1）比较法的步骤是： 差（商） ，变形（分解因式、配方、通分等） ，判断符号，下结论. （2）分析法：由结论到条件.优点是思路自然，容易掌握. （3
3、）综合法：由条件到结论（某些证明过的不等式、结论或已知条件）. 通常从均值不等式定理出发,关键是如何使用均值不等式，怎样对已知等式进行适当的变形. 证明问题时，分析法与综合法常结合使用； 练习： 1、若 ab0，则下列式子：a1b2；abab；中，正确的有（ 1 a b 11 ab ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2、如果，则的大小关系为 01ba 22, , 1 , 1 ab ab 3、设且，则的大小关系为 RxxxBxA,2,21 234 1xBA, 4、若，则的取值范围为 ，的取值范围为 .53, 42baba 3 b ba 2 5、证明下列不等式 （1）已知,求证: ；Rb
4、a,baabba1 22 （2）已知，求证：；1, 0, 0, 0cbacba9 111 cba 二.常用不等式： （1）(当且仅当 ab 时取“=”号), a bR 22 2abab 融安高中高二数学 2 （2）(当且仅当 ab 时取“=”号) 2 )( 2 22 ba ba 三.均值不等式： (当且仅当 ab 时取“=”号), a bR 2 ab ab 1、条件条件：一正二定三等，和定积最大，积定和最小 2 2、定积或积定的常用方法：、定积或积定的常用方法： （1）添项；（2）分离法（换元分离或取倒数分离） ；（3）1 的整体代换；（4）消元代换；（5）构造不 等式. 3 3、若均值不等式
5、取不了等，用对勾函数的单调性解决、若均值不等式取不了等，用对勾函数的单调性解决： 对勾函数的一般形式：)0, 0(ba x b axy 对勾函数图象： 练习： （1）已知，求的最大值； 4 5 x 54 1 14 x xy （2）已知，求的最大值； 2 1 0 x)21 (xxy （3）已知，求的最大值；0x 4 2 x x y （4）已知，求的最小值；2x 42 96 2 x xx y （6）已知，求的最小值；1 91 , 0, yx yxyx （7）已知，求的取值范围；3, 0,yxxyyxxy （8）已知，求的最大值.2 , 0(x 9 2 x x y 四、不等式的解法四、不等式的解法
6、1.1.分式、二次、高次不等式分式、二次、高次不等式：标根法 前提条件：分子分母中的最高次项系数为正 步骤 （1）求根：分解成若干个一次因式的积，并使分子分母每一个因式中最高次项的系数为正并使分子分母每一个因式中最高次项的系数为正； （2）标根：将每一个一次因式的根标在数轴上，注意实心与空心； （3）串根：从上到下，从右到左，奇穿偶不穿奇穿偶不穿； （4）写出不等式的解集. 注：注：解分式不等式时，注意移项使一边为 0；一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 2.2.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法： （1）公式法： )()()()(| )(|xgxfxgxgxf .次转化无需讨
7、论的正负.)()()()()(| )(|xgxfxgxfxgxf或)(xg （2）平方法：两边非负. ；)()(| )(| )(| 22 xgxfxgxf （3）零点分段法：含两个绝对值以上 edcxbax| 令求出零点，零点将数轴分为 3 段，分段讨论. 最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集0| , 0|dcxbax （4）数形结合法：利用绝对值的几何意义 表示数轴上点到点的距离；|ax xa 练习：解下列不等式 融安高中高二数学 3 （1） （2）0 352 2 2 xx x 1 32 5 2 xx x （3）0)107)(6( 22 xxxx （4） （5）3|9| 2 xx|2
8、|xx （6） （7）|34 2 xx2|2|12|xx 3 3、含参不等式的解法、含参不等式的解法：分类讨论法 （1）讨论最高次项的系数是否为 0； （2）讨论两根的大小； （3）讨论与 0 的关系； 提醒：（提醒：（1 1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示； （2 2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 （3）解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。 练习：解下列含参不等式 （1） （2）0)43( 2 xxa065 22 aaxx （3） （4）0 2 2 xx ax 01 2 axx 4、不等式恒成立问题与存在性问题（有解）的
9、区别不等式恒成立问题与存在性问题（有解）的区别 不等式恒成立和存在性是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转 化，切不可混为一团. （1）不等式 f(x)k 在 xI 时恒成立，xI. kxf)( min （4）不等式 f(x)k 在 xI 时有解，xI. kxf)( max 解决不等式恒成立和存在性问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、 下界） 、图象求解；基本方法包括：数形结合，分离参数等. 练习： （1）的取值范围. aaxxx恒成立，求实数，不等式对任意实数21 （2）若不等式的解集为非空集合，求实数的取值范围axx|3|4|a （3
10、）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；01 2 xaxRa （4）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；01 2 axx)2 , 0(a 融安高中高二数学 4 直线与圆的方程直线与圆的方程基本概念、公式复习宝典基本概念、公式复习宝典 一、直线一、直线 1、直线的两个特征量：、直线的两个特征量： （1）斜率：）斜率： 定义法，倾斜角；tank），（ 000 18090)90, 0 不存在k k k ,90 0,18090 0,900 0 00 00 斜率公式；当，斜率不存在；)( 21 12 12 xx xx yy k 21 xx k 直线的方向向量； 化为斜截式 , ),( m n knma
11、 bkxy 求直线方程时求直线方程时注意讨论是否存在;当斜率不存在时，直线垂直于轴kx 斜率的应用：斜率的应用： 证明三点共线CBA、 BCAC kk 求分式函数的最值：看作动点与定点连线的斜率最值. ax by y ),(yx),(ba （2）截距：）截距： 定义：定义：直线 与轴交点的横坐标或纵坐标.lyx轴或 求法：求法：令，求出.00yx或xy或 求直线方程时求直线方程时注意讨论截距是否为 0；若截距为 0，直线过原点； 练习：练习： 1、三点在同一条直线上，求的值；) 2 , 5(),3 , 4(),3, 2( k k 2、直线上两点，的方向向量为 1 l），（、aBA2)2 , 1
12、 ( 1 l)6 , 2( a （1）求的值和直线的斜率.（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的 2 倍，求直线的斜率.a 1 l 2 l 1 l 2 l （3）若直线在坐标轴上的截距等于在坐标轴上的截距，求实数.012: 3 nymxl 1 lnm、 2.直线的四种方程直线的四种方程 （1）点斜式 (直线 过点，且斜率为) 11 ()yyk xxl 111 ( ,)P x yk （2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的纵截).ykx bl ) 1 ( m kxlaamyx轴上的横截，在为直线 （3）截距式 (为直线的横、纵截)（）1 xy ab ab、0a b、 （4）一般式 (其中 A、B
13、 不同时为 0).0AxByC 3.待定系数法求直线方程：待定系数法求直线方程： 选定直线的一种形式:已知点一般用点斜式，已知斜率或截距一般用斜截式. 通过方程待定未知变量. 练习：求下列直线方程 （1）在轴上的截距是，倾斜角的正弦值是y5 5 3 （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等；)2 , 3(P （3）倾斜角为，且与坐标轴围成的面积为 1； 4 （4）过点，与轴的正半轴交于 A、B 两点，且面积最小.)2 , 3(Pyx,AOB 4.平行和垂直平行和垂直 融安高中高二数学 5 (1)若， 111 :lyk xb 222 :lyk xb ; . 121212 |,llkk bb 121
14、2 1llk k (2)若,且（A1、A2、B1、B2不都为零） 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC ；或（或） 111 12 222 | ABC ll ABC 0 0 1221 1221 CACA BABA 0 0 1221 1221 CBCB BABA ； 121212 0llA AB B 练习： 1、已知两直线平行，求的值；023:, 04) 1(2: 21 ymxlymxla 2、已知两直线垂直，求的值；0) 12( :, 02: 21 aayxalayaxla 5.角度角度：，, 111 :lyk xb 222 :lyk xb 12 1k k （1）夹角公式）夹角公式 . 夹角范围 21 2 1 tan| 1 kk k k 2 , 0 直线时，直
