《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 10.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 10.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理 新人教a版（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(全国卷5年4考),【知识梳理】 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正 向与直线l_之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴_时,规定它的倾斜角为0(或 0).,向上方向,平行或重合,(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是 _. 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角的_叫做这条直线 的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=_,倾斜角 是90的直线斜率不存在.,0,)(或|0180),正切值,tan,(2)斜率公式 直线l的倾斜角为(90),则斜率k=_. P1(x1,y1),P2(x2
2、,y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率 k=_.,tan,3.直线方程的五种形式,y-y0=k(x-x0),y=kx+b,Ax+By+C=0,A2+B20,【常用结论】 1.直线倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率. (2)不是倾斜角越大,斜率k就越大,因为k=tan,当 时,越大,斜率k就越大,同样 时也 是如此,但当0,)且 时就不是了.,2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.,3.直线方程的应用 设直线方程时,只有在斜率存在时才可设成点斜式或斜截式,否则
3、要根据斜率是否存在分两种情况讨论. 当直线的斜率可能不存在,但一定不为0时,直线方程可设为x=ay+m,aR.x=ay+m适用于除垂直于y轴以外的所有直线.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误.(正确的打“”,错误的打“”) (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( ) (2)斜率公式k= ,不适用于垂直于x轴和平行于 x轴的直线. ( ),(3)当直线的斜率不存在时,其倾斜角存在. ( ) (4)过点P(x1,y1)的直线方程一定可设为y-y1=k(x-x1). ( ) (5)直线方程的截距式 =1中,a,b均应大于0. ( ),【解析】(1).例如,倾斜角从60增大到90,再增大
4、到120时,斜率先是正的,然后是负的,所以斜率越来越大是错误的. (2).此斜率公式适用于平行于x轴的直线. (3).当直线的斜率不存在时,其倾斜角为90. (4).斜率不存在时,不可设为点斜式. (5).截距式中a,b也可以为负值.,2.若直线l :(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点_. 【解析】直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由 解得x=2,y=-2,所以直线l恒过定点(2,-2). 答案:(2,-2),3.过点A(1,2)且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程为 _. 【解析】直线x-2y+3=0的斜率为 ,所以由垂直关系 可得要求直线的斜率为-2,所
5、以所求直线方程为 y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. 答案:2x+y-4=0,题组二:走进教材 1.(必修2P95练习T2改编)直线l:xsin 30+ycos 150 +a=0的斜率为 ( ) B. C.- D.-,【解析】选A.设直线l的斜率为k, 则k=-,2.(必修2P96例4改编)已知ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为 ( ) A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0 C.2x+y-8=0 D.2x-y+8=0,【解析】选C.由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直 线
6、的方程为 整理得2x+y-8=0.,考点一 直线的倾斜角与斜率 【题组练透】 1.直线x+ y+1=0的倾斜角是 ( ),【解析】选D.由直线的方程得直线的斜率为k=- , 设倾斜角为,则tan =- ,所以= .,2.直线(1-a2)x+y+1=0的倾斜角的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.直线的斜率k=-(1-a2)=a2-1,因为a20, 所以k=a2-1-1.倾斜角和斜率的关系如图所示,则该 直线倾斜角的取值范围为,3.(2019沈阳模拟)若直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足 ( ) A.ab0,bc0,bc0 C.ab0 D.
7、ab0,bc0,【解析】选A.由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象 限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=- 易知- 0,所以ab0,bc0.,4.(2018荆州模拟)两直线 与 (其中a是不为零的常数)的图象可能 是 ( ),【解析】选B.直线方程 可化为y= x-na, 直线 可化为y= x-ma,由此可知两条直线 的斜率同号.,【规律方法】 求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点: (1)2个步骤: 求出斜率k=tan的取值范围. 利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角的取值范围.,(2)1个注意点: 求倾斜角时要注意斜率是否存在.,考点二 求直线的方程 【
8、典例】(1)过点A(1,3),斜率是直线y=-4x斜率的一半的直线方程为_.,(2)若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为_.,【解析】(1)所求直线的斜率k=-2,直线方程为 y-3=-2(x-1),整理得2x+y-5=0. 答案:2x+y-5=0 (2)设直线l在x轴、y轴上的截距均为a.由题意得 M(3,2).,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),所以直线l的方程为 y= x,即2x-3y=0; 若a0,设直线l的方程为 =1,因为直线l过点 M(3,2),所以 =1,所以a=5,此时直线l的方程为 =1,即x+y-5=0.
9、,综上,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 答案:2x-3y=0或x+y-5=0,【答题模板微课】本例(2)的求解过程可模板化为: 建模板:“设直线l在x轴、y轴上的截距均为a.” 设元 “由题意得M(3,2),若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),所以 直线l的方程为y= x,即2x-3y=0;若a0,设直线l的方 程为 =1,因为直线l过点M(3,2),所以,=1,所以a=5,此时直线l的方程为 =1,即x+y-5=0.”分类讨论 “综上,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.” 总结,答案:2x-3y=0或x+y-5=0 套模板:已知直线l过点P(2,-1),且在
10、x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍,则直线l的方程为_.,【解析】设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距 为3b. 设元 若b=0,则直线过原点(0,0), 此时直线斜率k=- ,直线方程为x+2y=0.,若b0,设直线方程为 =1. 由于点P(2,-1)在直线上,所以b=- . 从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=0. 分类讨论 综上所述,所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0. 总结 答案:x+2y=0或x+3y+1=0,【误区警示】在选用直线方程时,常易忽视的情况有: (1)选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线. (2)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的
11、情况. (3)选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.,【互动探究】 若将本例(1)中的“斜率是直线y=-4x斜率的一半”改为“斜率是直线y=-4x斜率的四分之一”,其他条件不变,则直线方程为_.,【解析】所求直线的斜率k=-1,直线方程为y-3=-(x-1),整理得x+y-4=0. 答案:x+y-4=0,【规律方法】 求直线方程的注意事项: (1)选形式:在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式.,(2)讨论斜率:对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若釆用截距式,应先判断截距是否为零). (3)一般式:重视直线方
12、程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.,【对点训练】 1.(2019邯郸模拟)过点(2,1),且倾斜角比直线 y=-x-1的倾斜角小 的直线方程是 ( ) A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2,【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角 为 .由已知,所求直线的倾斜角为 斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.,2.(2018哈尔滨模拟)一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为_.,【解析】设所求直线的方程为 因为A(-2,2)在直线上,所以 又因为直线与坐标轴围成的三角形的面积为1, 所以 |a|b|=1. 由
13、得 或 ,由得 或 方程组无解. 所以所求的直线方程为 或 即x+2y-2=0或2x+y+2=0. 答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0,3.求经过点P(2,-2),并且在y轴上的截距比在x轴上的截距大l的直线l的方程.,【解析】显然直线不过原点,截距不为0,设直线l的方 程为 因为直线l过点P(2,-2),所以 解得a=-2或1,所 以直线l的方程为 或 即x+2y+2=0 或2x+y-2=0.,【一题多解】(点斜式)由题意知所求直线斜率存在,则 设方程为y+2=k(x-2),且k0. 令x=0,得y=-2k-2,令y=0,得x= +2, 所以-2k-2= +2+1,解得k= - 或-2
14、. 所以直线l的方程为y+2=- (x-2)或y+2=-2(x-2),即 x+2y+2=0或2x+y-2=0.,考点三 直线方程的综合应用 【明考点知考法】 直线方程的综合应用多以选择题或填空题的形式出现,常考查与基本不等式相结合求最值问题,由直线方程求参数问题,解题过程中常用到数形结合思想.,命题角度1 与直线方程有关的最值问题 【典例】(2018潍坊模拟)直线l过点P(1,4),分别交 x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,当|OA|+|OB|最小时,求直线l的方程.,【解析】由已知,直线l的斜率存在且斜率为负,设直线 l的斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x-1)(k
15、0). 令y=0,得A ;令x=0,得B(0,4-k).,|OA|+|OB|= +(4-k)=5- =5+ 5+4=9,当且仅当-k= 且k0,即 k=-2时,|OA|+|OB|取最小值. 此时直线l的方程为2x+y-6=0.,【状元笔记】 求解与直线方程有关的最值问题 求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式或函数单调性求解最值.,命题角度2 由直线方程解决参数问题 【典例】已知直线l :kx-y+1+2k=0(kR). (1)证明:直线l过定点. (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.,(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.,【解析】(1) l的方程可化为y=k(x+2)+1,所以无论k取 何值,直线l总过定点(-2,1). (2)直线l的方程为y
