贝叶斯决策分析_1

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1、第五章 贝叶斯决策分析,引言 决策是需要信息的，信息包括两个方面：、结果值；、自然状态的概率。 贝叶斯决策是分析有关自然状态概率的信息对决策的影响。 面临的问题是：一方面信息越准确对决策越有利；一方面获得信息是有成本的。这两者之间会有一个平衡，因此需要知道信息的价值。 要想知道信息的价值，必须了解贝叶斯分析的原理。,预备知识,一、先验概率与后验概率 先验概率 ( Prior probability) 先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个随机变量; 先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计. 比如在法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p, 在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性.

2、 后验概率 ( posterior probability) 后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率.后验概率可以根据通过Bayes定理, 用先验概率和似然函数计算出来.,二、全概率公式和贝叶斯公式 条件概率 如在事件发生的条件下求事件发生的概率，将此概率记作P(|).,全概率公式,贝叶斯公式,贝叶斯公式把条件概率和似然函数联系起来，因此可以用先验概率求出后验概率。,例：小概率事件不会发生，因为如果发生，就不是小概率事件。,先验概率 p(小)=0.9; p(大)=0.1,似然矩阵,后验概率,事件发生的总概率,5.1 贝叶斯决策的基本方法,5.1.1 贝叶斯决策的基本方法 管理决策的两种偏向：

3、(1)缺少调查，(2)调查费用过高。 贝叶斯决策：为了提高决策质量，需要通过市场调查，收集有关状态变量的补充信息，对先验分布进行修正，用后验状态分布进行决策。 贝叶斯决策的意义 贝叶斯决策可以做到少花钱多办事，提高决策分析的科学性和效益性。,有关的概率公式,离散情况 设有完备事件组j（j=1, 2, , n），满足：,则对任一随机事件H，有全概率公式：,有关的概率公式,贝叶斯公式：,5.1 贝叶斯决策的基本方法,5.1.2 贝叶斯决策的基本方法 补充信息（信息值） 指通过市场调查分析所获取的补充信息， 用已发生的随机事件H或已取值的随机变量表示，称H或为信息值。 信息值的可靠程度 用在状态变量

4、的条件下，信息值H的条件分布p(H/)表示。,5.1.2 贝叶斯决策的基本方法,离散情形 若取n个值j（j=l, 2, , n），H取m个值Hi（i1, 2, , m），则信息值的可靠程度对应一个矩阵贝叶斯决策的似然分布矩阵,5.1.2 贝叶斯决策的基本方法,利用市场调查获取的补充信息值Hi 或去修正状态变量的先验分布，即依据似然分布矩阵所提供的充分信息，用贝叶斯公式求出在信息值H或发生的条件下，状态变量的条件分布 p(/H)。 先验概率p() ：由以往的数据分析得到的概率； 后验概率p(/H)：在得到信息之后，重新加以修正的概率。,贝叶斯决策的基本步骤,1.验前分析 依据数据和资料以及经验和

5、判断，去测算和估计状态变量的先验分布p() ； 计算各可行方案在不同下的条件结果值； 根据某种决策准则评价选择，找出最满意方案。 2.预验分析 比较分析补充信息的价值和成本的过程。 目的：判断是否值得去补充信息？,贝叶斯决策的基本步骤,2.预验分析 判断：如果信息的价值高于其成本，则补充信息给企业带来正效益，应该补充信息反之，补充信息大可不必。 注：如果获取补充信息的费用很小，甚至可以忽略不计，本步骤可以省略，直接进行调查和收集信息，并依据获取的补充信息转入下一步骤。,贝叶斯决策的基本步骤,3.验后分析 利用补充信息修正先验分布,得到更加符合实际的后验分布； 再利用后验分布进行决策分析，选出最

6、满意的可行方案； 对信息的价值和成本作对比分析，对决策分析的经济效益情况作出合理的说明 验后分析和预验分析的异同： 相同：都是通过贝叶斯公式修正先验分布 不同：主要在于侧重点不同,贝叶斯决策的基本步骤,4.序贯分析（主要针对多阶段决策） 指把复杂的决策问题的决策分析全过程划分为若干阶段，每一阶段都包括先验分析、预验分析和验后分析等步骤, 每个阶段前后相连,形成决策分析全过程,某工厂计划生产一种新产品，产品的销售情况有畅销（1），滞销（2）两种，据以往的经验，估计两种情况发生的概率分布和利润如下表所示：,例5.1,为了进一步摸清市场对这种产品的需求情况，拟聘请某咨询公司进行市场调查和分析，该公司

7、对销售情况预测也有畅销(H1)和滞销 (H2)两种，对畅销预测的准确率为0.95，对滞销预测的准确率为0.9：,例5.1,解： 1、验前分析 记方案a1 为生产该新产品，方案a2 为不生产。 则： E (a1)=1.1（万元），E (a2)=0 记验前分析的最大期望收益值为E1，有： E1maxE (a1)，E (a2) =1.1 因此验前分析后的决策为：生产该新产品。 即： aopt a1 E1为不作市场调查的期望收益。,例5.1,2、预验分析：由全概率公式,得：,例5.1,2、预验分析： 再由贝叶斯公式,得：,例5.1,2、预验分析： 用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值。 当市

8、场调查值为 H1（产品畅销）时：,aopt (H1) a1 即：市场调查畅销时，最优方案是生产该新产品。,例5.1,2、预验分析： 当市场调查值为 H2（产品滞销）时：,aopt (H1) a2 即：市场调查滞销时，最优方案是不生产该新产品。,例5.1 是否该进行市场调查？,假定咨询公司收费为0.1万元。 2、预验分析： 通过调查，该企业可获得的收益期望值为：,通过调查，该企业收益期望值能增加,因此，只要调查费用不超过0.0301万元，就应该进行市场调查；否则，则不应进行市场调查。,不应进行调查,例5.1,3、验后分析：综上所述， 在咨询公司收费不超过0.0301万元的情况下，进行市场调查，能

9、使该企业新产品开发决策取得较好的经济效益；否则，不做市场调查。 若调查结果是该产品畅销，则应该选择方案a1，即生产新产品； 若调查结果是该产品滞销，则应该选择方案a2，即不生产新产品。,例5.2,某企业为开发某种新产品需要更新设备，有三种方案可供选择：引进大型设备(a1)、引进中型设备(a2)、引进小型设备(a3)。市场对该新产品的需求状态也有三种：需求量大(1)、需求量一般(2) 、需求量小(3) 。根据市场预测，企业的收益矩阵如下（单位：万元）：,例5.2,根据历年资料，该产品各需求状态的概率分别为p(1)=0.3，p(2)=0.4，p(3)=0.3。为使新产品开发产销对路，该拟试销作市场

10、调查，试销结果可能有三种：需求量大(H1)、需求量一般(H2)、需求量小(H3)。调查结果值的可靠性如下表所示：,试对该企业新产品开发方案进行决策。,例5.2,解：1、验前分析,E1maxE (a1)，E (a2)，E (a3) =17 因此验前分析后的决策为：引进大型设备。 即： aopt a1 E1为不进行试销（市场调查）的期望收益。,例5.2,2、预验分析：由全概率公式,得：,例5.2,2、预验分析： 再由贝叶斯公式,得：,例5.2,例5.2,2、预验分析： 用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值。 当市场调查值为 H1（需求量大）时：,例5.2,2、预验分析： 当市场调查值为

11、H1（需求量大）时：,aopt (H1) a1 即：试销为产品需求量大时，最优方案是引进大型设备。,例5.2,当市场调查值为 H2（需求量一般）时：,aopt (H2) a1 即：试销为产品需求量一般时，最优方案也是引进大型设备。,例5.2,当市场调查值为 H3（需求量小）时：,aopt (H2) a3 即：试销为产品需求量小时，最优方案是引进小型设备。,例5.2,3、验后分析： 通过试销，该企业可获得的收益期望值为：,该企业收益期望值能增加：,只要试销所需费用不超过3万元，就应该进行市场调查；否则，则不应进行试销。,例5.2,3、验后分析： 在试销费用不超过3万元的情况下，进行试销，能使该企

12、业新产品开发决策取得较好的经济效益；若试销费用不超过3万元，则不应进行试销。 若试销结果是该产品需求量大或一般，则应该选择方案a1，即引进大型设备； 若调查结果是该产品需求量小，则应该选择方案a3，即引进小型设备。,5.2 贝叶斯决策信息的价值,从前面的分析看出，利用补充信息来修正先验概率，可以使决策的准确度提高，从而提高决策的科学性和效益性。因此，信息本身是有价值的能带来收益。 但获得的情报越多，花费也更多。 因此有一个获取补充信息是否有利的问题：收益与成本的比较。 问题：如何衡量信息的价值？,5.2 贝叶斯决策信息的价值,5.2.1 完全信息的价值（EVPI） 完全情报：指能够提供状态变量

13、真实情况的补充信息。即在获得补充情报后就完全消除了风险情况，风险决策就转化为确定型决策。 1.完全信息值 设Hi 为补充信息值，若存在状态值0，使得条件概率P(0/ Hi)=1 ，或者当状态值 0时，总有P(/ Hi)=0 。则称信息值Hi为完全信息值。（补充信息可靠性100%）,5.2.1 完全信息的价值（EVPI）,2.完全信息值Hi的价值 设决策问题的收益函数为Q=Q(a,)，其中a为行动方案，为状态变量。 若Hi为完全信息值，掌握了Hi的最满意的行动方案为a(Hi) ，其收益值为 Q(a(Hi),)maxQ(a,) 验前最满意行动方案为aopt ,其收益值为Q(aopt ,)，则称掌握

14、了完全信息值Hi前后的收益值增量：,为在状态变量为时的完全信息值Hi的价值。,5.2.1 完全信息的价值（EVPI）,3.完全信息价值 如果补充信息值 Hi对每一个状态值都是完全信息值，则完全信息值Hi 对状态的期望收益值称为完全信息价值的期望值（expected value of perfect information）,简称完全信息价值，记做EVPI。,5.2.1 完全信息的价值（EVPI）,在例5.1中 如果补充信息(咨询公司市场调查)的准确度很高，预测畅销，则100%畅销；预测滞销，则100%滞销；这时： P(1/ H1)=1， P(2/ H1)= 0 P(1/ H2)=0， P(2/

15、 H2)= 1 则H1（咨询公司预测畅销）、H2（咨询公司预测滞销）都是完全信息值(完全情报)。,5.2.1 完全信息的价值（EVPI）,在例5.1中，若H1、H2都是完全信息值 验前最满意行动方案为a1 (生产新产品) 完全信息值H1的价值=1.5-Q(a1,1)=1.5-1.5=0 完全信息值H2的价值=0-Q(a1,2)=0-(-0.5)=0.5 完全信息价值为：,5.2.2 补充信息的价值（EVAI）,1.补充信息价值 实际工作中取得完全情报是非常困难的。 补充信息值Hi 的价值： 决策者掌握了补充信息值 Hi前后期望收益值的增加量(或期望损失值的减少量)。 补充信息价值：全部补充信息

16、值Hi 价值的期望值，称为补充信息价值的期望值。简称补充信息价值，记做EVAI（Expected Value of Additional Information）。,2、补充信息价值（EVAI）的计算,公式1：,其中：a()表示在信息值下的最满意方案， E/表示在信息值的条件下对状态值求收益期望值。,公式2：,公式3：R(a,)表示决策问题的损失函数,例5.1中：验前最满意行动方案为a1 (生产新产品),E(aopt,)=E(a1,)=1.1万元 a(H1)=a1, a(H2)=a2,EVAI=1.13-1.1=0.03万元,5.2.3 EVAI 与EVPI 的关系,任何补充信息价值都是非负的，且不超过完全信息的价值。 即： EVPIEVAI0 信息价值对管理决策的意义 任何补充信息决不会降低决策方案的经济效益！ 完全信息是一类特殊的补充信息，是价值的信息。,5.3 抽样贝叶斯决策,问