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1、单元质检八解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)3.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A
2、.2B.3C.2D.2334.已知直线过点A(0,3),圆(x-1)2+y2=4被该直线截得的弦长为23,则该直线的方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=-43x+3C.x=0或y=43x+3D.x=05.(2018全国,理12)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.146.(2018全国,理11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直
3、角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.47.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.428.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且AFB=(为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N.若|AB|MN|的最小值为1,则=()A.6B.4C.3D.2二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.10.抛物线
4、y2=8x的焦点到双曲线x212-y24=1的渐近线的距离为.11.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A.若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=.12.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点.若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p的值为.13.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.14.(2018全国,理16)已知点M(-1,1)和抛
5、物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. (13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.16.(13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且PF1F2的周长是8+215.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2
6、+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.17.(13分)(2018全国,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k0,b0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x,且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-3,求双曲线的离心率.19.(14分)(2018上海,20)设常数t2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线:y2=8x(0xt,y0)
7、.l与x轴交于点A,与交于点B,P,Q分别是曲线与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.20.(14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12,已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD
8、的面积为62,求直线AP的方程.单元质检八解析几何1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0(m1),由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.A解析由题意得(m2+n)(3m2-n)0,解得-m2n3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2+n+3m2-n=4,即m2=1,所以-1n0,b0)的两条渐近线方程为y=3x,代入y2=2px(p0),得x=23p或x=0,故xA=xB=23p.又因为|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.8.C解析如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设
9、|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos.|AB|MN|的最小值为1,a2+b2-2abcos(a+b)24,当=3时,不等式恒成立.故选C.9.2解析由题意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.10.1解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x212-y24=1的渐近线x3y=0的距离d=|20|1+3=1.11.19解析由题意可知,抛物线y2=2px(p0)的
10、准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线x2a-y2=1的左顶点为A(-a,0),所以直线AM的斜率为41+a.由题意得41+a=1a,解得a=19.12.8解析设OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1p4,22p.又因为圆面积为36,所以半径为6,所以p216+12p2=36,所以p=8.13.233解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b.MAN=60,|AP|=32b,|OP|=|OA|2-|PA|2=a2-34b2.设双曲线C的一
11、条渐近线y=bax的倾斜角为,则tan=|AP|OP|=32ba2-34b2.又tan=ba,32ba2-34b2=ba,解得a2=3b2,e=1+b2a2=1+13=233.14.2解析设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4xy2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1
12、)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.15.解(1)由y=2x-4,y=x-1,得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则|3k-2+3|k2+1=1,所以|3k+1|=k2+1,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-34.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-34x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.设M(x,y),又因为|MA|=2|MO|,所以x2+(y-3)2=2x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1a2+(2a-4)-(-1)22+1,解得a的取值范围为0,125.16.解(1)由题意,得e=ca=154=a2-b2a,可知a=4b,c=15b.
