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1、1,第七章 应力和应变分析 强度理论,目录,2,第七章 应力状态分析, 应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 三向应力状态 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常见的强度理论,目录,目录,3,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,1、问题的提出,71 应力状态的概念,目录,4,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,71 应力状态的概念,目录,5,一、应力状态的概念及其描述,（一）、应力状态的概念,目录,6,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,目录,7,此例表明：即使同一点在不同方位截面
2、上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,目录,8,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,目录,9,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。,应 力,哪一个面上？ 哪一点？,哪一点？ 哪个方向面？,指明,目录,10,应力状态的概念,2、受力构件内应力特征：,（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的； （2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的； （3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。,1、一点处的应力状态:
3、受力构件内一点处不同方位的截面 上应力的集合, 称为一点处的应力状态。,11,3、单元体法,（1）单元体截取方法: 围绕该点 取出一个单元体。,例如 图 9-1a 所示矩形截面 悬臂梁内A点的应力状态,12,（2）单元体特征,13,示例一,目录,14,1,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,目录,15,71 应力状态的概念,目录,16,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 表示，并且 该单元体称为主应力单元。,71 应力状态的概念,目录,17,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,
4、71 应力状态的概念,目录,18,7-3 二向应力状态分析-解析法,19,1.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,20,2.斜截面上的应力,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,21,列平衡方程,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,22,利用三角函数公式,并注意到 化简得,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,23,确定正应力极值,设0 时，上式值为零，即,3. 正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,
5、24,（2）主平面的位置,以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。,25, 若,26,试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,27,解：,（1） 斜面上的应力,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,28,（2）主应力、主平面,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,29,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,30,（3）主应力单元体：,7-2 二向应力状态分析-解析法,目录,31,例
6、7-3-1 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,O,32,破坏分析,铸铁,33,7-3 二向应力状态分析-图解法,34,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,7-3 二向应力状态分析-图解法,目录,35,1. 应力圆：,7-3 二向应力状态分析-图解法,目录,36,建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与a 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,37,三、单元体与应力圆的对应关系,38,四、在应力圆上标出极值应力,39,1.定义,三个主应力都不为零的应
7、力状态,7-5 三向应力状态,目录,40,首先研究与其中一个 主平面 (例如主应力3 所在的平面)垂直的 斜截面上的应力。,41,用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。,42,与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由 1 ,2作出的应力圆上的点来表示。,主应力 3 所在的两平面上是一对 自相平衡的力， 因而该斜面上的 应力, 与 3无关, 只由主应力 1 , 2 决定。,43,与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由1 ,3作出的应力圆上的点来表示。,44,与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由2 ,3作出的应力圆上的点来表示。,45,该截面上应
8、力和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内。,abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面,46,结论,三个应力圆周上的 点及由它们围成的 阴影部分上的点的 坐标代表了空间应 力状态下所有截面 上的应力。,47,48,该点处的最大正应力 (指代数值)应等于最大 应力圆上A点的横坐标1,A,49,最大剪应力则等于最 大的应力圆上B点的 纵坐标(图9-11c),A,50,A,最大剪应力所在的 截面与2 所在平面 垂直, 并与1与3 所在的主平面各成 45角。,51,上述两 公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态, 只需将具体问题的主应力求出,并按代数值1 2 3 的顺序排列。,空间应力
9、圆画法,52,例题 9-3 单元体的应力如图 a 所示 ,作应力圆, 并求出主应力 和最大剪应力值及其作用面方位。,53,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆.,解: 该单元体有一个已知主应力,54,46MP,-26MP,量得另外两个主应力为,55,该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,56,o,c,根据上述主应力，作 出三个应力圆。,57,从应力圆上量得,据此可确定1所在的 主平面方位和主单元 体各面间的相互位置.,58,其中最大剪应力所在 截面与2垂直,与1和 3所在的主平面各 成45 夹角。,59,max,60,76
10、 平面内的应变分析,一、应变分析解析法,61,2、已知一点A的应变（ ），画应变圆,二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle）,1、应变圆与应力圆的类比关系,建立应变坐标系如图,在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2),AB与a 轴的交点C便是圆心,以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。,应力状态与应变状态,62,三、方向上的应变与应变圆的对应关系,n,应力状态与应变状态,63,四、主应变数值及其方位,应力状态与应变状态,64,例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。,解：由,i =1,2,3这三个
11、方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。,应力状态与应变状态,65,例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,应力状态与应变状态,66,1. 基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8 广义胡克定律,目录,67,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,7-8 广义胡克定律,目录,68,7-8 广义胡克定律,目录,69,3、广义胡克定律的一般形式,7-8 广义胡克定律,目录,70,7-9 复杂应力状态的变形比能,（2） 各向同性材料在空间 应力状态下的 体积应变,（1）概念:构件每单位体积 的体积变化, 称为体积 应变用 表示。,目录,
12、71,7-9 复杂应力状态的应变能密度,(2) 在三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为,1、 应变能密度的定义 ：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应 变能密度,2、应变能密度的计算公式 :,(1) 单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为,72,将广义胡克定律代入上式, 经整理得,用 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为 体积改变能密度。,用 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为 形状改变能密度或畸变能密度,应变能密度 等于两部分之和,目录,73,由于两单元体的体积应变相等，所以 v也相等。,目录,74,(b),图 b 所示单元体的三个主应力相等，因而，变形
13、后的形状与 原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。,目录,75,所以，a所示单元体的体积改变能密度v 为,目录,76,(a),a单元体的应变能密度为,a所示单元体的体积改变应变能密度 v为,目录,77,空间应力状态下单元体的 形状改变能密度 为,对于最一般的空间应力状态下的单元体, 其应变能密度为,目录,78,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,1. 杆件基本变形下的强度条件,7-10、强度理论概述,目录,79,7-10、强度理论概述,目录,80,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践
14、检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,7-11、四种常见强度理论,目录,81,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-11、四种常见
15、强度理论,目录,82,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,7-11、四种常见强度理论,目录,83,断裂条件,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,7-11、四种常见强度理论,目录,84,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,7-11、四种常见强度理论,目录,85,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,7-11、四种常见强度理论,目录,86,无论材料处于什么应力
