《2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2.2 三角形中的几何计算练习(含解析)新人教a版必修5》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.2.2 三角形中的几何计算练习(含解析)新人教a版必修5(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第6课时三角形中的几何计算 知识点一 三角形的面积问题1已知三角形的一边长为14,这条边所对的角为60,另两条边之比为85,则这个三角形的面积为_答案40解析设另两条边分别为8t,5t,t0,则142(8t)2(5t)228t5tcos60,得49t2142,t2,故S1610sin60402在ABC中,a,b,c为它的三边,且三角形的面积为,则角C等于_答案解析SabsinC,sinC又cosC,sinCcosCC3在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA,B60,b(1)求sinC的值;(2)求ABC的面积解(1)角A,B,C为三角形内角,且B60,cosAC120A,si
2、nAsinCsin(120A)cosAsinA(2)由(1)知,sinA,sinC又B60,b,由正弦定理,得a,SABCabsinC4在ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c2,C(1)若ABC的面积等于,求a,b;(2)若sinCsin(BA)2sin2A,求ABC的面积解(1)由余弦定理及已知条件,得a2b2ab4又因为ABC的面积等于,所以absinC,得ab4,联立方程组解得a2,b2(2)由题意,得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA,即sinBcosA2sinAcosA当cosA0时,A,B,a,bABC的面积Sb当cosA0时,sinB2sinA,
3、由正弦定理,知b2a,联立方程组解得ABC的面积SabsinC知识点二 三角形中的几何计算5如图,在平面四边形ABCD中,AB1,BC1,AD,ABC120,DAB75,则CD()A B2 C2 D1答案A解析如图,过点D作DEAB于E,过C作CFAB交AB的延长线于F,则DECF,CBF60,DEADsinDABsin(4530),CFBCsinCBF(1),所以四边形DEFC是矩形,CDEFABAEBF,因为AEADcosDABcos(4530),BFBCcosCBF(1),所以CD1故选A6在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2B5cos(AC)2(1)求角B的大小
4、;(2)若cosA,ABC的面积为10,求BC边上的中线长解(1)由题易知2cos2B15cosB2,即2cos2B5cosB30,解得cosB或cosB3(舍去)又0B,B(2)cosA,sinASABCbcsinA10,bc35由正弦定理,得,又sinsinAcosA,5b7c,由知,b7,c5,由余弦定理,得a 8,BC边上的中线长为 7在锐角ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,又c,b4,且BC边上的高h2(1)求角C ;(2)求边a的长解(1)由于 ABC为锐角三角形,过A作ADBC于D点,sinC,则C60(2)由余弦定理,可知c2a2b22abcosC,则()242a
5、224a,即a24a50所以a5或a1(舍去)因此所求角C60,边a长为5易错点一 解三角形时忽视解的个数8已知ABC中,B30,AB2,AC2,求ABC的面积易错分析三角形内角的正弦值都是正数,而这个内角可能是锐角,也可能是钝角,该题求出sinC后易丢掉C120的情况漏解面积解由正弦定理,得sinCABAC,C60或C120当C60时,A90,SABCABAC2;当C120时,A30,SABCABACsinA故ABC的面积为2或易错点二 忽略角的隐含范围9在ABC中,B3A,求的取值范围易错分析解三角形时角的范围至关重要,该题中易由A,B为三角形内角得A(0,60)致错,所以审题时要仔细挖掘
6、隐含条件解由正弦定理得cos2A2cos2A4cos2A1ABC180,B3AAB4A180,0A45cosA1,14cos2A13,13 一、选择题1已知圆的半径R4,a,b,c为该圆的一个内接三角形的三条边,若abc16,则该三角形的面积为()A2 B8 C D答案C解析SabsinCab故选C2已知三角形的两边之差为2,夹角的余弦为,面积为6,那么这个三角形的两边分别为()A1和3 B2和4 C3和5 D4和6答案C解析设该三角形的某两边为b,c,夹角为A依题意有cb2,cosA,则sinA又SABCbcsinA6,所以bc15又cb2,故c5,b3故选C3平行四边形中,AC,BD,周长
7、为18,则平行四边形面积是()A16 B175 C18 D1853答案A解析设两邻边ADb,ABa,BAD,则ab9,a2b22abcos17,a2b22abcos(180)65解得:a5,b4,cos或a4,b5,cos,SABCDabsin164已知方程x2sinA2xsinBsinC0有重根,则ABC的三边a,b,c满足关系式()Abac Bb2acCabc Dcab答案B解析由0,得4sin2B4sinAsinC0结合正弦定理得b2ac故选B5 如图,平面上有四个点A,B,P,Q,其中A,B为定点,且AB,P,Q为动点,且满足APPQQB1,又APB和PQB的面积分别为S和T,则S2T
8、2的最大值为()A B1 C D答案D解析PB2AP2AB22APABcosAPQ2BQ22PQBQcosQ,即312cosA112cosQ,所以cosQcosA1,所以S2T222sin2Asin2Q(1cos2A)(1cos2Q)cosA2,所以当cosA时,S2T2取得最大值故选D二、填空题6在ABC中,已知a8,c18,SABC36,则B等于_答案或解析由SacsinB得818sinB36,sinB又B(0,),B或7在ABC中,已知ab4,ac2b,且最大角为120,则该三角形的周长为_答案30解析ab4,ab又ac2b,b4c2bb4c,abc最大角为A,A120cosAb2c2a
9、2bcb2(b4)2(b4)2b(b4),即b2b2168bb2168bb24bb210b0,b10,a14,c6,三角形的周长为abc308在ABC中,a2b2bccosAaccosB_答案0解析由余弦定理cosA,得bccosA(b2c2a2),同理accosB(a2c2b2)a2b2bccosAaccosBa2b2(b2c2a2)(a2c2b2)a2b2b2a20 三、解答题9在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(accosB)bsinC(1)求角C的大小;(2)若ABC的面积S10,ab13,求sinAsinB及cosAcosB的值解(1)(accosB)bsinCsi
10、n(BC)sinCcosBsinBsinC,sinBcosCsinBsinC,又在ABC中,sinB0,tanCC60(2)S10absin60ab40,由余弦定理得c2(ab)22ab2abcosC(ab)23ab49,c7,由正弦定理得sinAsinBsin260,cosAcosBcos(AB)sinAsinBcosC10在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c已知cosC(1)若,求ABC的面积;(2)设向量x2sin,ycosB,cos,且xy,求sin(BA)的值解(1)由得abcosC又因为cosC,所以ab又C为ABC的内角,所以sinC所以ABC的面积SabsinC3(2)因为xy,所以2sincoscosB,即sinBcosB,因为cosB0,所以tanB因为B为三角形的内角,所以B所以AC,所以AC所以sin(BA)sinAsinCsinCcosC- 9 -