几何教学讲座

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1、小学“图形与几何”教学探微,苍南县教育局教研室 陈裕鑫,空间与图形教学的核心词是“刻画图形”“空间观念”“推理能力”即学生在学习如何“刻画图形”的基础上，发展“空间观念”和“推理能力”。,空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,儿童形成空间观念的主要心理特点,（1）直观性 “闭合的区域”往往比“开放的区域”更为直观。如对三角形的性质理解可能会比对角的性质认识更容易；对周长的理解可能会比面积更容易。正如我们听到许多教师上面积与面积单位时，总是让学生通过自己的手的触摸来体

2、验“面”的大小，并与周长作出对比，逐步获得对“面积”的理解。,（2）描述性 学生往往倾向于用日常用语来描述几何概念，一般说来，他们尚不能运用精确语言来刻画数学概念，如果用严格的定义来刻画，他们往往难以理解。如“圆”：到一个定点距离等于定长的所有点的轨迹。,（3）渐进性 一年级时，学生只能辨认长方形、正方形、三角形、圆形的形状；二、三年级时，学生不仅能辨认长方形、正方形、梯形、平行四边形等平面图形，还能从这些图形的基本性质上分析，并对圆柱和球也有了初步的认识；到了四、五年级，能深入地分析图形的性质及关系；而到了六年级，学生则能较好地掌握立体图形的特征。可见学生对图形的掌握及空间观念的发展都是一个

3、渐变的过程。,（4）偏重于明显特征 对“角”的本质属性的认识，往往会集中在组成角的两条边的长短上，而忽视两条边的“张开”程度，也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边的“张开”程度。 如果拿一个放大镜看角时，角的大小怎样时，学生居然说角会变大。,（5）偏重于单个要素 几何图形分为单个要素和要素之间关系两个方面。小学生容易观察图形中的单个要素，而当图形的特征反映要素间的关系时，他们就感到比较困难。例如对长方形、正方形、平行四边形的特点比较容易理解，但对他们之间的关系往往不容易理解。,（6）从标准图形到变式图形 一位老师在上三角形的认识时，为了让学生更好地理解“高”的概念，她先从一个正放的三角形

4、入手，让学生画高；接着她把这个三角形旋转一下，变成倒放的三角形了，问学生这还是不是三角形的高，学生就觉得它不是高了。可见学生对图形的识别还仅仅依赖于标准形式，一旦变成了“变式图形”，学生识别起来就比较困难了。,（7）偏重对称图形 （8）从二维空间到三维空间,“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。,图形与几何,加强： 1、测量（估测） 如：能用方格纸估计不规则图形的面积。 2、物体空间位置的确定。 3、二维与三维图形间的转换（三视图、展开图）,削弱： 单纯的平面图形

5、周长、面积、体积等计算。（不能有效发展空间观念）,直观几何：平面图形，立体图形的认识 度量几何：求面积、体积的问题 演绎几何：三角形的两边之和大于第三边 运动几何：平移、旋转、对称、放大、缩小， 变换 坐标几何：位置 实际上是从不同角度刻画图形，包括图形的形状、大小、位置和运动，发展学生的空间观念。,图形的认识教学策略,看教材,一、抓住图形的认识的内容主线,1.从立体到平面再到立体 2.从生活中的实物抽象出图形到应用于生活 3.从直观辨认图形到操作探索图形的特征 4.从直边图形到曲边图形 5.从静态到动态,二、设计丰富的素材促进学生进行平面和立体的转化,转化的内容主要有：立体图形的展开与平面图

6、形的折叠；从正面、侧面、上面等观察立体图形得到平面图形与根据观察到的图形还原立体图形；长方形绕长或宽旋转一周形成圆柱“切割”得到长方形，直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥与圆锥“切割”得到三角形。,图形之间的转换,生活的经验,图形之间的转换,图形之间的转换,平面图形之间的转换。,来源：人教版配套五年级暑假作业 思考题： 一个梯形，如果上底增加4cm，就变成一个平行四边形；如果上底减少3cm，就成了一个三角形，这时面积比原来减少了7.5平方厘米。原来这个梯形的面积是多少平方厘米？,图形之间的转换,二维和三维之间的转换。,在下列图形中，哪两条线段是相互平行的？哪两条线段是相互垂直的？,在下列图形中

7、，哪两条线段是相互平行的？哪两条线段是相互垂直的？,七巧板,长方体,一条线段长5厘米，以每秒10厘米的速度向右平移，3秒钟后，线段扫过的部分的面积是多少？,观点与启示 GUANDIANYUQISHI,学习开始的地方不一定在课堂？重视日常生活中图形与图形之间的转换，这些基本的活动经验积累为学校课堂数学学习是奠定基础。 转换并不一定是在一个维度上？一维、二维和三维之间的相互转换，恰是发展学生空间观念的有益举措。,三、注重使学生体会图形与现实世界的密切联系,欣赏：建筑中的图形。,2010世博会阳光谷,2008奥运会水立方,欣赏：建筑中的图形。,香港中银大厦,美国五角大楼,四、鼓励学生经历观察、操作、

8、想象、推理、表达等活动,先观察猜想操作验证表达特征,当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗？,三角形内角和练习题,老师撕了4个不同的三角形，分别为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和三条边等不相等的三角形，得到12个角，分别为60度、20度、80度、110度、40度、90度、60度、50度、70度、60度、50度、30度。这四个三角形每个角分别是多少度？,分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生

9、逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。,五、重视图形分类的价值,引导学生借助操作思考下面的问题： 哪些东西可以滑动，哪些东西可以滚动？ 哪些是平的，哪些是曲的？ 哪些是直的变？哪些是曲的边？ 哪些面是方形的，那些面是三角的，那些面是圆的？ 哪些有点或角，哪些没有？,六、鼓励学生从动态的角度认识图形,小魔术(剪一剪)： 活动要求：每个图形只许剪一刀。 1、将平行四边形剪成两个图形，其中

10、一个为梯形。 2、将梯形剪成两个图形，其中一个为平行四边形。 3、将任意四边形剪成两个图形，其中一个为梯形。 4、将梯形剪为两个三角形。 5、将三角形剪成一个梯形和一个三角形。,圆（课件）,圆（教案）,平行,图形的测量的教学策略,看教材,重视建立测量单位的必要性，注重单位的实际意义，重视估测及其在现实生活中的作用，同时鼓励学生在测量过程中，根据实际问题选择合适的测量方法和工具。,一、在具体情境中，注重对所测量的量的实际意义的理解,生：我发现它们的大小不一样，但是它们的面积应该是一样的。,教学中应该重视结合一些具体的情境，使学生对所要测量的量（如长度、周长、面积、体积）的实际意义加以体会。,小明

11、用同样长的两根铁丝围成了甲乙两个图形，比较它们的面积，那么（ ）。 A.甲比乙大 B.乙比甲大 C.一样大 D无法比较,学生在观察图形时，往往是图形的边线和图形的面同时看到，不易剥离。 在一般情况下，学生遇到的例子都是周长大的面积就大。 教学中往往强调公式，不够重视对周长和面积意义的理解。,教学中，教师应设计丰富多彩的活动，使学生对周长、面积、体积等所测量的量有比较丰富的体验，而不是很快进入到公式的学习。 如：描一描图形的边线、摸一摸图形的面等活动。 教材在长、正方形周长学完之后，直到圆才又一次探索圆的周长，可以在学习三角形、平行四边形时，有意识地让学生求一求周长，将二者加以区分。 教师可以设

12、计一些实际问题，鼓励学生根据实际问题及对周长和面积的理解，选择是用周长还是用面积来解决实际问题，,比较距离。,B,比较周长。,图形的面积与周长变化,下图中的小方格每边长表示1分米，在图1的基础上，增加了2个小方格（如图2,图3），整个图的面积分别增加了多少？周长增加了多少？,图1 图2 图3,增加一个小正方体，表面积比原来增加还是减少？,拿掉一个小立方块，表面积比原来 增加还是减少？,观点与启示 GUANDIANYUQISHI,不作具体计算而比较面积的大小和距离的长短，是空间知觉能力的反应。 比较大小和长短，不是单凭视觉所做的判断，而是借助具有参照意义的单位来判断，或者找到相互之间的关系来判断

13、。 在变化中，寻找变与不变的数量，既是空间知觉的锻炼，也是辩证关系的渗透。,二、经历用不同方式进行测量的过程，体会测量的意义,教学中，教师可以设计一些活动，使学生体会到度量的意义。实际上测量的一个基本想法是：首先要有一个单位，为了交流，这个单位要统一；其次是用通的单位，一个单位一个单位去量；在量的过程中，要满足一定的性质：如可加性。 教师应提供大量实际测量的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在彼此交流的过程中体会到建立统一的测量单位的必要性。这些活动应在测量长度、测量面积、体积、角度中不断设计渗透。,1、请每个小组选择一种你们认为合适的图形尝试作为面积单位，去测量下面长方形的面积，看看长

14、方形的面积有几个这样的图形？ 2、思考并讨论：哪个图形作为面积单位比较合适？,被测对象：,尝试面积单位图形：,实验要求：,无法确定,用 测量,用 测量,用 测量,用 测量,16个长方形,16个三角形,18个正方形,8个正方形,三、借助熟悉的事物体会单位的实际意义,学生需要通过实际活动建立对测量单位实际意义的体验。比如，生活中哪些物体的长度大约是1米，哪些物体表面的面积大约是1平方米，哪些物体的体积大约是1立方米。,1平方分米,1平方米,1平方厘米,常用的面积单位：,对测量单位的体验 把能想到的长度、面积、体积单位尽可能列出来，并按照测量的特征将这些单位分类。 对于每个单位，试着想出一些与这个单

15、位大小相近的物体的例子。 鼓励学生观察生活中的物体，对某一物体的多种测量属性加以分析，并分别将它们与标准测量单位机型比较。,四、选择适当的测量单位和工具进行测量，积累测量的经验,学生学习测量的一个重要目的是能在实际的测量过程中运用这些知识，而完整的测量过程绝不仅仅等同于根据刻度记录下测量结果，它还包括根据实际问题选择合适的测量工具。,四、选择适当的测量单位和工具进行测量，积累测量的经验,学生应在亲身实践中积累选择测量单位和测量工具的经验。 在测量的学习时，应始终重视估测的重要性。如让学生测教室的面积。,五、探索基本图形的周长、面积、体积公式，并能应用公式解决实际问题,让学生经历基本图形的周长、面积、体积等的计算方法的探索过程。,平行四边形的面积推导,平行四边形的面积推导,一般的,特殊的,为了转化成长方形，所以要沿着高剪。 是不是不同形状的平行四边形都可以沿高剪呢？所以需要提出特殊的情况。 为什么要介绍平移这种方法呢？ （参见傅种孙数学教育文选，人民教育出版社）,平行四边形的面积,三角形中的直角三角形、钝角三角形、