初学者看的固体能带理论

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1、1,2,前言,第 八 章 晶体的能带结构,从STM得到的硅晶体 表面的原子结构图,物理学前言之一,材料的性质,大规模集成电路,半导体激光器,超导,人工微结构,3,8.1 晶体的能带,一. 电子共有化,晶体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。,电子受到周期性势场的作用。,按量子力学须解定态薛定格方程。,4,解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：,1.电子的能量是分立的能级;,2.电子的运动有隧道效应。,原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。,原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。,5,二. 能带 (

2、energy band),量子力学计算表明，晶体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于 原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变 成了N条靠得很近的能级,称为能带。,晶体中的电子能级 有什么特点？,6,能带的宽度记作E ，数量级为 EeV。,若N1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。,一般规律：,1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。,2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。,3. 两个能带有可能重叠。,7,离子间距,a,2P,2S,1S,E,0,能带重叠示意图,8,三 . 能带中电子的排布,晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。,排布原则：,1. 服从泡里不相容原理

3、（费米子）,2. 服从能量最小原理,设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 2 (2 +1)个电子。,这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。,9,电子排布时，应从最低的能级排起。,有关能带被占据情况的几个名词：,1满带（排满电子）,2价带（能带中一部分能级排满电子） 亦称导带,3空带（未排电子） 亦称导带,4禁带（不能排电子）,2、3能带，最多容纳 6N个电子。,例如，1、2能带，最多容纳 2N个电子。,2N(2l+1),10,一. 布洛赫定理,一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？,在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch

4、） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。,布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。,8.2（补充） 布洛赫定理 空间,11,在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k) 和波函数 必须满足定态薛定谔方程,k -表示电子状态的角波数 V( x ) -周期性的势能函数，它满足 V( x ) = V( x + n a ) a - 晶格常数 n -任意整数,12,布洛赫定理：,式中 也是以a为周期的周期函数，即 *,注*：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅固体物理学黄昆原著 韩汝琦改编 （1988）

5、P154,具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。,满足（1）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式,13,布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有 晶体结构周期性的函数 的乘积。, 只有在 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。, 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。, 因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。, 它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。,14,实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。,设一维晶体的原子数为N,它

6、的线度为 L=Na,则布洛赫波函数 应满足如下条件,此式称为周期性边界条件。,二 . 周期性边界条件,采用周期性边界条件以后，具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：,在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件：,15,由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的 波数 k 只能取一些特定的分立值。,周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。,图 2 周期性边界条件示意图,16,左边为,右边为,所以,由周期性边界条件,即周期性边界条件使 k 只能取分立值：,证明如下:,按照布洛赫定理：,17,k 是代表电子状态的角波数,

7、n 是代表电子状态的量子数。,对于三维情形, 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。 它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。,一个 对应电子的一个状态。,18,在 空间中，电子的每个状态可以用 一个状态点来表示，这个点的坐标是,三. 空间,19,上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向， 电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。,图 3 表示二维 空间每个点所占的面积是 。,因此， 空间中每个状态点所占的体积为 。,图 3 二维 空间 示意图,20, 8.3 克朗尼格- 朋奈模型 能带中的能级数目,一 . 克朗尼格- 朋奈模型,能带理论是单电子近似理论。,布洛赫定理指出，一个在

8、周期场中运动的电子， 其波函数一定是布洛赫函数。,下面我们通过一个最简单的一维周期场- 克朗尼格- 朋奈（Kroning-Penney）模型来说明 晶体中电子的能量特点。,周期性边界条件的 引入,说明了电子的状态是分立的。,它把每个电子的 运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。,现在再来说明电子的能量有什么特点？,回顾：,21,克朗尼格- 朋奈模型是把图1的周期场简化为 图 4 所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的 周期势场中运动。,在 0 x a 一个周期的区域中，电子的势能为,22,按照布洛赫定理，波函数应有以下形式,式中,即可得到 满足的方程,将波函数 代入定态薛定谔方程,23,利用

9、波函数应满足的有限、单值、连续等物理 （自然）条件，进行一些必要的推导和简化， 最后可以得出下式,注*：有兴趣的读者可参阅固体物理基础 蔡伯熏编（1990）P 268。,式中,而 是电子波的角波数*。,（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子 能量 E与角波数 k 之间的关系式。,24,(4)式的左边是 能量E 的一个较复杂的函数，记作 f(E)；,由于 ， 所以使 的 E 值 都不满足方程。,下图5 为 给出了一定的 a、b、U0 数值后的 f(E)：,右边是角波数 k 的函数。,25,由图看出，在允许取的 E值（暂且称为能级）之间， 有一些不允许取的 E值（暂且称为能隙）。,下面

10、 的图 6 为E k 曲线的某种表达图式。,26,27,两个相邻能带之 间的能量区域称 为禁带。,晶体中电子的能量 只能取能带中的数 值，而不能取禁带 中的数值。,28,E k 曲线与 a 有关、与 U0b 乘积有关。,乘积 U0b 反映了势垒的强弱。,由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。, 计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。,所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。,29, 从 E k 曲线还可以 看出： k 值越大， 相应的能带越宽。,由于晶体点阵常数 a 越小，相应于 k 值越大。,因此，晶体点阵常数 a 越小，能带的宽度就

11、越大。 有的能带甚至可能出现重叠的现象。,这些都与 8.1 节“概述”中介绍的结论是一致的。,30,二 . 能带中的能级数,晶体中电子的能量不能取禁带中的数值， 只能取能带中的数值。由 图 5 可以看出：,第一能带 k 的取值范围为,第二能带 k 的取值范围为,第三能带 k 的取值范围为,每个能带所对应的 k 的取值范围都是 * 。,注* ：我们把以原点为中心的第一能带所处的 k 值 范围称为第一布里渊区;第二、第三能带所处的 k值范围称为第二、第三布里渊区，并以此类推。,31,所以，晶体中电子的能带中有 N 个能级。,电子在晶体中按能级是如何排布的呢？,电子是费密子，它的排布原则有以下两条：

12、,（1） 服从泡里不相容原理 （2） 服从能量最小原理,而在 空间每个状态点所占有的长度为 ， 因此，每一能带中所包含的（状态数）能级数为,每个能带所对应的 k 的取值范围都是 。,32,对于孤立原子的一个能级 Enl 按照泡里不相容原理，最多能容纳 2（2 l +1）个电子。,在形成固体后，这一能级分裂成 由 N 条能级组成 的能带了，它最多能容纳的电子数为 2N(2l+1)个。,例如，对孤立原子的1S、2S能级,在形成固体后相应 地成为两个能带。它们最多能容纳的电子数为 2N个。,对孤立原子的 2P、3P能级, 在形成固体后也相应地 成为两个能带。它们最多能容纳的电子数为 6N个。,电子排

13、布时还得按照能量最小原理 从最低的能级排起。,33,孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可能未填满了电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。,若孤立原子中较高的电子能级上没有电子， 在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。,若原来未填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。,孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。,34,排满电子的能带称为满带；,排了电子但未排满的称为未满带（或导带）；,未排电子的称为空带；,（有时也称为导带）；,两个能带之间的禁带是不能排电子的。,35,8.4 导体和绝缘体 （conducto

14、r insulator）,它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。,晶体按导电性能的高低可以分为,36,导体,导体,导体,半导体,绝缘体,Eg,Eg,Eg,37,在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。,从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。,E,导体,38,从能级图上来看，是因为满带与空带之间 有一个较宽的禁带（Eg 约36 eV）， 共有化电子很难从低能级（满带）跃迁到 高能级（空带）上去。,在外电场的作用下，共有化电子很难接 受外电场的能量，所以形不成电流。,的能带结构,满带与空带之间也是禁带， 但是禁带很窄（E g 约0.12 eV )。,绝缘体,半导体,39,绝缘体与半导体的击穿,当外电场非常强时，它们的共有化电子还是 能越过禁带跃迁到上面的空带中的。,绝缘体,半导体,导体,