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1、概率论(曹显兵)第一讲 随机事件与概率考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1试验，样本空间与事件.2古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 3几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则【例1】 一个盒中有
2、4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；（2） 一次取1 个, 取后不放回；（3） 一次取1个, 取后放回.【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率：（1） 两数之和小于1.2；（2） 两数之和小于1且其积小于.一、 事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） （2） A与B 互逆（对立事件） ,（3） A与B相互独立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B|A）=P（B） （P（A）0）. （0P（A）1）.P（
3、B|A） =P（B|） （ 0 P（A） 1 ） 注: 若（0P（B）0） （0P（B）1）. P（A|B）=P（A|） （0P（B）1） P（|B）=P（|） （0P（B）0）【例3】 已知（A）（）C, 且P（ C ）, 试求P（B ）.【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C满足条件: ABC, P（A）P（B）P（C）,且已知, 则P（A） .【例5】 设三个事件A、B、C满足P（AB）P（ABC）, 且0P（C）1, 则 【 】（A）P（AB|C）P（A|C）+ P（B|C）. （B）P（AB|C）P（AB）.（C）P（AB|）P（A|）+ P（B|）. （D）P（AB|）P（
4、AB）. 【例6】 设事件A, B, C满足条件: P（AB）P（AC）P（BC）, P（ABC）, 则事件A, B, C中至多一个发生的概率为 .【例7】 设事件A, B满足 P（B| A）1则【 】 （A） A 为必然事件. （B） P（B|）=0. （C） . （D） . 【例8】 设A, B, C为三个相互独立的事件,且0P（C）1,则不独立的事件为 【 】 （A） 与C . （B） 与 （C ） 与 （D） 与 【例9】 设A，B为任意两个事件，试证 P（A）P（B）P（AB） P（AB） P（BA） .三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式1 乘法公式：2 全概率公
5、式：3Bayes公式：4二项概率公式: ,【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率.【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回. 试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品;（2） 第三次才取得次品;（3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品;（4） 不超过三次取到次品;【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次;（
6、2）甲, 乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二讲 随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握01分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用.3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会
7、用泊松分布近似表示二项分布.4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数 1随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2分布函数：F（x）为分布函数 （1） 0F（x） 1（2） F（x）单调不减（3） 右连续F（x+0）=F（x）（4） 3离散型随机变量与连续型随机变量 （1） 离散型随机变量分布函数为阶梯跳跃函数. （2） 连续型随机变量 f（x）为概率密度 （1） f（x）0, （2） f（x） 4几点注意【 例1 】 设随机变量的分布函数为 则 .【
8、例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x）, 且 f （x） = f （x）, 记和分别是X 和的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A）. （B）. （C）. （D）. 【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为的指数分布, 试求随机变量 Y= min X, 2 的分布函数【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从参数为 的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.【 例5】设随机变量的概率密度为 试求（1） 的分布函数; （2）概率.二、 常见的一维分布（1） 0-1分布：.（2） 二项分布.（3）
9、 Poisson分布：.（4） 均匀分布（5） 正态分布N（，2）： （6） 指数分布 .（7） 几何分布（8） 超几何分布H（N,M,n）: .【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p（0p1）, 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【 】（A） . （B） .（C） . （D） . 【例7】 设X （, ）, 则P （ X 1） 【 】 （A） 随的增大而增大 . （B） 随的增大而减小.（C） 随的增大而不变 . （D） 随的增大而减小. 【例8】 设X （, ）, 为其分布函数，则对于任意实数，有 【 】（A） （B） （C） （D） 【例9】 甲袋中有1个
10、黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形 2. 连续的情形 3. 一般的情形 【例10】 设随机变量的概率密度为 令为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（）求Y的概率密度;（） .第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相
11、互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x, y）=P X x, Y y , x （, +）, y （, +）的性质F （x, y）为联合分布函数 1） 0 F （x, y）1 , x （, +）, y （, +）; 2） F（, y ）= F（x, ）=0, F（+,+）=1;3） F （x, y）关于x, y 均为单调不减函数；4） F （x, y）关于x, y 均分别右连续. （2
12、）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 PX = xi , Y = yj = pi j , i, j =1, 2 , , pi j 0, .边缘分布律 pi = PX = xi =, i =1, 2 , , p j = P Y = yj =, j =1, 2 , , 条件分布律 PX = xi |Y = yj =, P Y = yj | X = xi =. 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f（x, y）为联合概率密度 1 f（x, y）0, 2 .设（ X, Y） f（x, y）则分布函数: ;边缘概率密度: , .条件概率密度: , . 2. 随机变量的独立性和相关性X和Y相互独立 F （x,
