《河南省洛阳市2018届高三数学上学期期中试题 理（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河南省洛阳市2018届高三数学上学期期中试题 理（含解析）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ， ，所以 因为 ，所以 ，选C.2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,，故选A.3. 下列说法中正确的个数是（ ）“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；命题“，”的否命题是“，”；若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】对于，若“” 为
2、真命题，则都为真命题，“” 为真命题，若为真命题，只需为真命题或为真命题，“”不一定为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故错误；对于，命题“，”的否定是“”， 故错误；对于，因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以正确，即正确命题的个数为，故选B.4. 函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】首先函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D，当时，图象就是把的图象向右平移1个单位，可见选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为的正方形的
3、四棱锥，其中两个侧面面积为，两个侧面面积为，底面积为，所以表面积为，故选D.6. 等比数列中，函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为函数，则 故选C考点：导数的运算.7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,将函数的图象向左平移个单位后得到，为偶函数，当 时，的取值分别为 ， ，的取值不可能是，故选B.8. 向量，均为非零向量，则，的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，即，设的夹角为，又，所以的夹角为，故选A.9. 已知数列的首项，则（ ）A. 99
4、B. 101 C. 399 D. 401【答案】C【解析】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列，故选C.10. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（
5、），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 已知函数若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出函数的图象如图：注意，设,当时，有4个实根，若方程在上有两个不等实根时，方程有8个不等实根，则：. 解得：，选C.【点睛】方程的根的个数控制问题是近几年高考和模拟考试常见考题，一般先画出函数的图象，设t=f(x),化方程的根的个数问题为直线y=t与曲线y=f(x)的交点的个数问题去解决，然后观察t的范围，利用利用一元二次方程的根的分布控制t的个数t的范围，从而得出参数的范围.12. 用表示不超过
6、的最大整数（如，）.数列满足，（），若，则的所有可能值的个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】对两边取倒数，得，累加得，由为单调递增数列，其中，整数部分为， ，整数部分为，整数部分为 ，由于， 时， 的整数部分都是，的所有可能值得个数为 ，故选B.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量、满足约束条件：则的最大值是_【答案】8【解析】 作出约束条件所对应的可行域（如图），而表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为或，的最大值为，故答案为.14. 若定义在上的函数，则_【答案】 【解析】由定积分的几何意义可得，是以原点为圆
7、心，以为半径的圆的面积的一半， ，故答案为.15. 设、均为正数，且，则的最小值为_【答案】 【解析】均为正数，且，整理可得，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，则不等式的
8、解集为_【答案】 【解析】， ，当时，说明 在上为增函数，为偶函数，则为偶函数，图象关于轴对称，所以在上是减函数，原不等式可化为 ，则或，即或，不等式的解集为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量，（1）若，求的值；（2）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间即图象的对称中心.【答案】(1) (2) 的单调增区间是（），函数图象的对称中心为（）【解析】试题分析：先根据数量积的坐标运算公式求出数量积，由于向量垂直，所以数量级为0，得出tanx
9、,再利用二倍角正切公式求出tan2x的值，第二步求出函数f(x)的表达式化为标准形式后，函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），相当于x替换为2x, 再把所得图象沿轴向左平移个单位，相当于把x替换为，得到函数的解析式，根据解析式求出单增区间和对称中心.试题解析：（1），即 ，.（2）由（1）得，从而.解得（），的单调增区间是（），由得（），即函数图象的对称中心为（）.【点睛】函数图像变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换以及旋转变换，主要掌握前3种，把函数图象沿x轴向左或向右平移，我们常称之为“左加右减”，沿y轴上下平移，我们常称为“上加下减”；纵坐标不变横坐标伸长或缩短到原
10、来的倍，对应的解析式就是把替换为，掌握基本图象变换方法，就可以方便的解题了.18. 已知数列满足，设.（1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1) (2)详见解析【解析】试题分析：（I）可化为即，从而可得数列为等比数列，进而可得的通项公式；（II）由（I）可得 ，分组求和后，利用放缩法可得结论.试题解析：（I）由已知易得，由得即； ,又,是以为首项，以为公比的等比数列. 从而即，整理得即数列的通项公式为. （II） ， ， ， . 19. 在中，分别是角，的对边，且.（1）求的大小；（2）若为的中点，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2） 【解
11、析】试题分析：（I）首先正切化弦，然后利用两角和的余弦公式可得，从而可得，进而可得结果；（II）由余弦定理可得，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可得结果.试题解析：（I）由，得， ， 又 . （II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得， 二式相加得，整理得 ， ， 所以的面积，当且仅当时“”成立.的面积的最大值为.20. 已知函数，其导函数的两个零点为-3和0.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最值.【答案】（1）（2）的单调增区间是，单调递减区间是（-3,0）.（3）函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【解析】试题分析：对函数求导，由于导
12、函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（1），由知，解得从而，.所以，曲线在点处的切线方程为，即，（2）由于，当变化时，的变化情况如下表：-30+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故的单调增区间是，单调递减区间是（-3,0）.（3）由于，所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1.21. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，.（1）求证：平面平面；（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2） 【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又 从而，底面， ，平面所以平面平面. （II）由（I）可知为与底面所成角. 所以，所以 又及，可得, 以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则.
