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1、Research Institute of RF & Wireless Techniques 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 Electromagnetic fields and electromagnetic waves 第17讲第17讲恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 黄惠芬 华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 89502331 Email: Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 第17讲内容 ?电流连续性方程 ?恒定电场的基本方程 ?
2、导电媒质内的体积电荷 ?电流稳恒条件 ?恒定电场的边界条件 ?例题 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 17.1 电流连续性方程 ?体电流密度为J J的空间中，从任一闭合面S流出的总电流 ?(也即单位时间里从S内被迁移出的电荷)必定等于由S 所包围的体积V中单位时间里电荷的减少量 ?式(3-19)中的全导数 ?并可移入体积分号内，即 ()0 V dV t += J或 (31 9 ) SV q dd V tt = = JS ? (32 0 ) SV dd V t =
3、 JS ? 3-21 t = J（） 电流连续性 方程微分形 式 电流连续性 方程积分形 式 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 17.2 恒定电场的基本方程 ?在恒定电场中，电场和电荷的空间分布是不随时间改变，即有 ?因而电流连续性方程式(3-20)和式(3-21)变为： ?恒定电流场是一个无源场，电流线是连续闭合的。它和电场线不 同，电流线没有起点和终点。 电流线是连续闭合的。它和电场线不 同，电流线没有起点和终点。 =E03-23=J ? （） (32 0
4、) SV dd V t = JS ? 3-21 t = J（） Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?取积分路径不经过电源，则 ?因此由不随时间变化的(处在动态平衡下的)驻立电荷产生的库仑 电场必定同静电场具有相同的无旋性质，恒定电场是无旋场。即 也是保守场； ?由于E的无旋性，电源以外的恒定电场同样可以用电位的梯度函数 来表示，即 ?式(3-26)代人式(3-23)后，可得 ? 0(3 24)()0 l s dd= E lES ? 斯托克斯定理 标量拉普拉斯方程
5、标量拉普拉斯方程 =E03-23=J ? （） 17.2 恒定电场的基本方程 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?可见，电源以外的恒定电场的电位函数足拉普拉斯方程。显 然，电源以外的恒定电场既无旋又无散，电源以外的恒定电场的 基本方程为: ?积分形式： ?微分形型 ?线性各向同性的导电媒质中： ?常关注媒质的导电特性、媒质中的电流、电场分布及其中的焦耳 功率损耗，因此体电流密度矢量J和电场强度E是基本场矢量。 17.2 恒定电场的基本方程 Research In
6、stitute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 17.3 导电媒质内的体积电荷 ?恒定电场中不均匀的导电媒质内有可能积累体积电荷，其密度 ?因为是恒定电场 ?导电媒质的介电常数；为其电导率。可见，在不均匀 媒质中，由于之值不是处处为常数)， 体积电荷一般不为O。这些体积电荷是在媒质中的电流进人稳恒之 前积累的。对均匀媒质，处处为常数，则媒质中没 有体积电荷的堆积。在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导 体中时，即便是均匀导体，其体积电荷也是不为0的。这时，据电 流连续性方程，有： Research
7、 Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?上式表明体积内的将随时间按指数规律衰减，其时间常数为 ? 称为弛豫时间，对大多数金属导体是一个非常短的 ?这说明电流一进入导体，便迅速向导体表面扩散，直至在导体表 面上积聚的电荷分布使电场和电流进入稳恒状态，边界上的电荷 分布不再变化，导体进入恒定电场状态，其内部 17.3 导电媒质内的体积电荷 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of T
8、echnology 17.4 电流稳恒条件 ?1、电流连续性方程的物理意义： ?表示S面内正电荷减少。此时 ?说明流出的电流线多于流入的电流线(多余的那一部分电流线是自 S面内发出的)。 ?表示S面内正电荷增加。此时 ?说明流入的电流线多于流出的电流线(多余的那部分终止于S面内)。 (32 0 ) SV dd V t = JS ? 3-21 t = J（） Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?2、电流的稳恒条件： ?一般说来，电流场是随时间变化的，在特殊情况下，
9、如果电流的 J J场不随时间而变化，那么这样的电流就叫作稳恒电流。 在稳恒 电流场中，由于各点的电流密度J J不随时间变化，这就要求电荷 的分布必须是恒定的，即对于导体中任意闭合曲面来说，面内的 电荷对时间的变化率零，在这种情况下 (32 0 ) SV dd V t = JS ? 3-21 t = J（） 17.4 电流稳恒条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?在稳恒电流场中，从任意闭合曲面一侧穿入多少条 电流线，也一定从另一侧穿出多少条电流线，电流 线一定
10、是连续的通过该曲面，不可能中断。否则将 出现电荷的积累或亏损，从而破坏稳恒条件。 ?而电荷所激发的电场也是不随时间而变化的。这种 与稳恒电流场相伴的电场叫作稳恒电场。稳恒电场 遵从静电场的基本规律，它与静电场不同的是在稳 恒电场中，可以有电荷流动，在导体内部场强可以 不等于零。 17.4 电流稳恒条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?例1当金属导线中有稳恒电流通过时，导线内出现的电场有什么 性质?它与静电场有什么区别? ?答：当金属导线中有稳恒电流流过时，导
11、体内部出现的电场称为 稳恒电场。激发稳恒电场的电荷分布是不随时间而变化的。静电 场的基本规律如高斯定理、环路定理等对稳恒电场都适用。这就 是说它与静电场具有相同的性质。激发静电场的电荷不但其分布 不能随时间而改变，而且还必须是静止的。从这里可以看出静电 场是稳恒电场的一个特例。在静电平衡条件下，静电场中的导体 内部场强一定为零，不能有电荷的流动。而在稳恒电场中，导体 内部的场强可以不为零，可以有电荷的流动。 17.4 电流稳恒条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technolog
12、y ?在图3-5a中的扁圆柱形闭合面有: ?上式表明在分界面上电流密度矢量对界面的法向分量是连续的。 17.5 恒定电场的边界条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?恒定电场与静电场有相同的电场切向分量边界条件，即 0(324) l d= El ? P68 17.5 恒定电场的边界条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?在电源
13、外的恒定电场中，不同媒质的分界面边界条件为 ?用电位函数表示为： ?由式(3-31)还可以导出分界面上的电流矢量线的折射关系，即 17.5 恒定电场的边界条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?进一步的分析环可得到： ?亦即在良导体与不良导体的分界面上，良导体的表 面可以近似地看作等位面，如图3-6所示。例如同轴线的内、外导 体柱面是由或 ?铝制成的，而填充在内外导体之间 ?的材料的 ?数量级，由式(3-33)可知，聚乙烯里的 ?电场与同轴线内、外导体 ?柱
14、? 17.5 恒定电场的边界条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?以至可以认为是近似此由良导体进入不良导体时，在不 良导体里的电流线近似地与良导体表面垂直，亦即良导体表面可 以近似地看作等位面，这与静电场中的导体相似。 ?如果没有种相似是不成立的，因为恒定电场中， 导体内的电场不为0，导体不是等位体，其表面不会是 会令良导体表面近似为等位面的这一结论很有用。例如，在计算 接地器的接地电阻时，土壤是不良导体而接地器一般由良导体制 成，则土壤中的接地器表面均可近
15、似看作等位面而使计算简化。 ?恒定电场中两种不同导电媒质的分界面上一般有自由面电荷分 布。如两种非理想介质的分界面上，自由面电荷 17.5 恒定电场的边界条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?为： ?两种非理想介质的分界面上一般是有自由面电荷存在的。(这和静 电场中两种理想介质是极不相同的。） ?假如两种不同的导电媒质是不同电导率的金属导体，则因金属导 体的介电常数一般可即其极化率非常小，与 真空相仿 ?因此，恒定电场中不同导电媒质的分界面上常有自由面电荷存
16、在。 17.5 恒定电场的边界条件 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology ?例3-2 极板面积为S的平行板电容器的两块极板之间的空间填充 了两种有损均匀介质，它们的厚度、介电常数和电导率分别为 ?现将电压U加于两极板，如图3-7所 示。求：极板间的电流密度J J两种电介质中的电场强度 ?极板上和介质分界面上的自由面电荷。 ?解设通过电容器的总电流为I，由于导极板的电导率远大于有 损介质的电导率，故据式(3-33)可知， ?介质中的电流近似垂直于导板面， ?并同时垂直于两介质的分界面；又 ?由于介质均匀及J J的法向分量在两 ?种介质分界
