2014 李委明数量关系讲义

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1、数学运算数学运算 第第 01 讲讲 直接代入直接代入 一、题型评述 数学运算试题都是四选一的客观单项选择题， 将选项直接代入进行验证， 显然是一种准 确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当 容易。 “答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题 时最大的误区之一。 二、破题密钥 “直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问 题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果， 还可以与其它方法进行结合使用。 三、例题精析 【例 1】 （深圳 2013-47）小王的旅

2、行箱密码为 3 位数，且三个数字全是非 0 的偶数，而 且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。则小王今年（ ）岁。 A. 17 B. 20 C. 22 D. 34 【例 2】 （浙江 2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子 共 30 吨，香蕉、柚子和梨共 50 吨。柚子占水果总数的 1/4。一共运来水果多少吨？( ) A. 56 吨 B. 64 吨 C. 80 吨 D. 120 吨 【例 3】(江苏 2013B-91)三位数 A 除以 51，商是 a（a 是正整数） ，余数是商的一半， 则 A 的最大值是 A. 927 B. 928 C. 929 D. 990

3、 【例 4】 （山东 2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓 库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库， 第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的 集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是 48 个。问甲仓 库原来有多少个集装箱？ A. 33 B. 36 C. 60 D. 63 【例 5】 （河北 2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把 小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假 山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的 1/3，第

4、三次是第二次的 2 倍。问三个假山的体积之比是（ ） 。 A. 135 B. 149 C. 367 D. 678 第第 02 讲讲 倍数特性倍数特性 一、题型评述 “倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法” ，也是代入排除法中最重要的内容。这种 方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。 熟练运用本方法最关键的要 点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。 二、破题密钥 2 2、4 4、8 8 整除及余数判定基本法则整除及余数判定基本法则 1. 一个数能被 2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被 2（或 5）整除； 2. 一个数能被 4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被

5、 4（或 25）整除； 3. 一个数能被 8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被 8（或 125）整除。 3 3、9 9 整除及余数判定基本法则整除及余数判定基本法则 1. 一个数能被 3 整除，当且仅当其各位数字和能被 3 整除； 2. 一个数能被 9 整除，当且仅当其各位数字和能被 9 整除。 7 7 整除判定基本法则整除判定基本法则 1. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为 7 的倍数； 2. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为 7 的倍数。 【示例】362 末一位“2”的 2 倍与“36”差“32”不能被 7 整除 362 不能

6、被 7 整除 【示例】12047 末三位“047”与“12”差“35”能被 7 整除 12047 能被 7 整除 1111 整除判定基本法则整除判定基本法则 1. 一个数是 11 的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为 11 的倍数； 【示例】7394 奇数位之和“7+916”与偶数位之和“3+47”做的差“16-79”不是 11 的倍数 7394 不能被 11 整除 三、例题精析 题型一：直接倍数 【例 1】（上海 2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中 1/4 是 2007 年以前的国内外 发行的邮票，1/8 是 2008 年国内发行的，1/19 是 2009 年国内发行的

7、，此外尚有不足 100 张 的国外邮票。则该人共有（ ）张邮票。 A. 87 B. 127 C. 152 D. 239 【例 2】（2011 年 424 联考-43）某单位招录了 10 名新员工，按其应聘成绩排名 1 到 10，并用 10 个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们 的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 题型二：因子倍数 【例 3】 （北京 2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个，乙工 厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个。则两个工厂

8、每天共能生产多少个零件？ A. 400 B. 420 C. 440 D. 460 【例 4】 （2012 年 421 联考61）某公司三名销售人员 2011 年的销售业绩如下：甲的销 售额是乙和丙销售额的 1.5 倍， 甲和乙的销售额是丙的销售额的 5 倍， 已知乙的销售额是 56 万元，问甲的销售额是： （ ） A. 140 万元 B. 144 万元 C. 98 万元 D. 112 万元 题型三：比例倍数 核心提示核心提示 若:( ,)a bm nm n互质，则说明 a 占 m 份，是 m 的倍数；b占 n 份，是 n 的倍数； a+b 占 m+n 份，是 m+n 的倍数；a-b 占 m-n

9、 份，是 m-n 的倍数。 【例 5】 （广州 2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有 90 人，美术和 舞蹈专业的学生比例为 23， 舞蹈和唱歌专业的学生比例为 34,则学生人数最多的专业有 多少人？ A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【例 6】 （2012 年 915 联考49）甲、乙两种商品的价格比是 35，如果它们的价格分 别下降 50 元，它们的价格比是 47，这两种商品原来的价格各为（ ） 。 A. 300 元 500 元 B. 375 元 625 元 C. 450 元 750 元 D. 525 元 875 元 第第 03 讲讲 化归为一化归为一 一

10、、题型评述 如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小， 并且这个具体量的大小并不影响最终结果 的时候，我们可以使用“化归为一法” ，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计 算。这种方法又被为“设 1 法”或者“设 1 思想” 。 我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问 题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法” 。 二、破题密钥 在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1” ，而是设之为“其中某些量的公倍数” ， 从而避免分数，简化计算。 三、例题精析 【例 1】 （重庆 2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯

11、中盐水的质量是乙杯的 2 倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的 1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯 浓度的多少倍？（ ） A. 3/2 B. 4/3 C. 6/5 D. 7/6 核心提示核心提示 使用 “化归为一法” 时， 大家最大的困惑是： 什么样的量可以随便设， 什么样的量不行？ 总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这 样的量一般需要满足两个条件： 1. 首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小； 2. 其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。 上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。譬如在行程问题中，我想假设某人的速

12、度为 1，那么就必须依次满足两个条件： 1. 题目中没有提及任何速度的具体数字大小； 2. 题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可 以计算出速度具体大小的。 当题目中只有路程或者时间有具体大小时， 我们假设一个速度为 1 或者其他数字， 就不 会影响结果。同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和 总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为 1，或者假设总价为 1，但不能同时做 这两件事情。 【例 2】 （江苏 2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为 每千克 20 元、30 元、60 元。如果购买这三

13、种调料所花钱一样多，则每千克调料的成本是 A.30 元 B.35 元 C.40 元 D.60 元 【例 3】 （河北 2013-48） 小王收购了一台旧电视机， 然后转手卖出， 赚取了 30%的利润。 1 个月后， 客户要求退货， 小王和客户达成协议， 以当时交易价格的 90%回收了这台电视机， 后来小王又以最初的收购价格将其卖出。 问小王在这台电视机交易中的利润率为 （ ） 。 A. 13% B. 17% C. 20% D. 27% 【例 4】 （新疆 2013-44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司 30%股份的陈先生在 合并后持有新公司股份的 12%，赵先生拥有甲公司 15%的股份和

14、乙公司 5%的股份，他在合并 后的公司中拥有多少比例的股份？（ ） A. 9% B. 10% C. 11% D. 12% 【例 5】（广州 2013-30） 某社区服务中心每个月均对居民进行 “社区工作满意度” 调查。 经对比发现，2 月份的居民满意度是 85 分，比 1 月份上升了 20%，3 月份的居民满意度又比 2 月份下降了 20%。则 3 月份的居民满意度和 1 月份相比（ ） 。 A. 两个月持平 B. 3 月份比 1 月份高 4% C. 1 月份比 3 月份高 4% D. 3 月份比 1 月份低 4% 【例 6】 （贵州 201240）某调查队男、女队员的人数比是 32，分别为甲

15、、乙、丙三 个调查小组。已知甲、乙、丙三组的人数比是 1087，甲组中男、女队员的人数比是 3 1，乙组中男、女队员的人数比是 53，则丙组中男、女队员的人数比是（ ） 。 A. 49 B. 59 C. 47 D. 57 第第 04 讲讲 比例假设比例假设 一、题型评述 我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方 便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。 然而在有些题目中， 虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值， 但随意 假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法” 。 二、破题密钥 尽管假设数字可能会与已

16、知条件矛盾， 但我们仍然可以强行假设其为某一个数字， 然后 看看推出的矛盾双方之间是几倍关系，按比例放大或者缩小即可。 三、例题精析 【例 1】 （广东 20128）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝 每小时为 52 名男员工 35 名女员工量体。几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还 有 24 名男员工没有量体。若男女员工的比例为 11:7，则该企业共有多少名员工？（ ） A. 720 B. 810 C. 900 D. 1080 【例 2】 （北京 2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的 40%，现商场决定 将加价幅度降低一半来促销， 商品售价比以前降低了 54 元。 问该商品原来的售价是多少元？ A. 324 B. 270 C. 135 D. 378 【例 3】 （上海 2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车 30 元/ 辆、中型车 15 元/辆、小型车 1